Navigation – Plan du site
  • ENS Éditions
  • ENS de Lyon
Varia

L’ontologie des Indivisibles et la structure du continu selon Gautier Burley

The ontology of Indivisibles and the structure of continuity according to Walter Burley
Alice Lamy

Résumés

Pour Aristote, sous le rapport de sa composition en parties, le continu est divisible mais sous le rapport de ses limites (point, ligne, surface et profondeur), le continu est indivisible. Walter Burley, comme ses contemporains, a commenté la coexistence problématique de la divisibilité et de l’indivisibilité dans la structure du continu. Bien plus, aux prises avec sa célèbre polémique contre son adversaire Guillaume d’Ockham à propos de l’ontologie de la catégorie de quantité, il admet une structure du continu originale qui semble contenir à la fois des intervalles ou parties divisibles et des points ou indivisibles.

Haut de page

Entrées d’index

Haut de page

Texte intégral

Introduction

  • 1  A. Maier, Studien zur Naturphilosophie des Spätsscholastik, I, Die Vorläufer Galileis im xiveJahrh (...)

1Dès la fin du xiie siècle, les théologiens cherchent à expliquer, dans leurs doctrines eucharistiques, la présence du corps du Christ sur l’autel sous les apparences du pain et du vin1. Ils désignent généralement la catégorie de quantité comme sujet des accidents eucharistiques qui garantissent l’apparence du pain et du vin et lui accordent ainsi un statut ontologique particulier.

  • 2  Gautier Burley a sûrement réussi brillamment ses premières années d’études, puisqu’en 1301, sa for (...)
  • 3  Guillaume d’Ockham est entré tôt dans l’ordre des franciscains. Il devient sous-diacre en 1306 ava (...)
  • 4  Guillaume D’Ockham, Summa logicae, P. Boehner, G. Gal et S. Brown éd., St. Bonaventure, New York, (...)

2Au xive siècle, Gautier Burley2 s’est rendu célèbre par les polémiques qu’il a conduites contre Guillaume d’Ockham, notamment pour avoir vivement contesté la position théologique controversée de ce dernier3 sur la quantité, au point de lui avoir consacré, presque trente ans après ses premiers commentaires aristotéliciens, une réécriture d’un certain nombre de passages de ses œuvres physiques et logiques. En effet, Guillaume d’Ockham ne reconnaît pas de distinction réelle entre la substance et la quantité, ce dernier terme connotant un aspect de la substance4.

3Ce débat sur la quantité, qui trouve son origine dans le dogme de l’Eucharistie, est le résultat exemplaire, au xive siècle, d’une évolution du statut et du traitement des sciences au Moyen Âge. En effet, la théologie, la physique, la logique, la métaphysique sont mobilisées ensemble sans séparation stricte et mettent en commun la finalité de leurs questionnements. Du fait de cette circulation permanente des questionnements entre les différentes sciences, le thème de la quantité, central dans les discussions théologiques médiévales, a pénétré de façon décisive les autres champs disciplinaires comme la philosophie naturelle, en particulier dans les discussions sur l’ontologie des indivisibles et la structure du continu.

  • 5  G. Burley, Gualteri Burlei in physicam Aristotelis ; expositio et questiones ac etiam quaestio de (...)

4L’objet de cette étude est de montrer que le débat mené par le Doctor planus et perspicuusa pu apporter certaines nuances ponctuelles à sa théorie de la structure de l’infini dans le livre VI de sa dernière version de la Physique,où il envisage pour la première fois que les points, médiats et immédiats, peuvent sous certaines conditions coexister avec les intervalles et assurer une forme de continuité sur la ligne5.

  • 6  C. G. Normore a produit la seule étude existante sur ce sujet : « Walter Burley on continuity », I (...)
  • 7  Parmi les occurrences nombreuses de ces discussions, nous avons choisi de concentrer nos remarques (...)

5Nous verrons tout d’abord comment le débat entre Burley et Ockham a évolué de la logique vers la physique en s’ouvrant sur la discussion relative aux indivisibles et à la structure du continu. Nous exposerons alors la théorie de Burley sur la continuité de la ligne6, qui admet que la division du continu en parties s’arrête aux indivisibles sans pour autant que les indivisibles composent le continu. Nous mentionnerons ensuite deux autres discussions en relation avec la structure du continu, où la question de l’ontologie du point est mobilisée : la conception éclectique burléenne de la continuité et de la contiguïté des corps et sa réponse à Ockham sur le rôle du point dans la continuité de la ligne7.

L’évolution du débat de la logique vers la physique : la question des indivisibles et du continu au xive siècle

Du statut de la quantité à celui du point, de la ligne et de la surface

  • 8  Ils sont numérotés par nos soins 13, 14 et 15 à partir de la table des matières et correspondent a (...)

6L’origine du débat s’enracine dans la théorie aristotélicienne des catégories, mais les trois dubia8 consécutifs au texte 15, où Burley réfute la théorie de la quantité ockhamiste, font évoluer ce cadre logique aristotélicien vers une discussion de philosophie naturelle typique de l’époque à Paris et à Oxford, le statut des indivisibles et la nature du point. Pour Burley, le point est un accident de la quantité, distinct de la substance, tandis que pour Ockham, le point n’existe pas, n’étant ni substance, ni accident.

  • 9  J. Biard et J. Celeyrette éd., De la théologie aux mathématiques. L’infini au xive siècle, Paris, (...)
  • 10  De par sa nature même, la quantité est un exemple par excellence, puisqu’elle touche dans sa défin (...)

7La structure du continu9 est toujours associée aux questions sur la quantité chez Burley, pour deux raisons : la place privilégiée de la quantité continue dans les discussions sur l’infini et l’intérêt accru pour ces questions chez tous les contemporains de Burley ; l’utilité des arguments sur la structure du continu pour défendre la distinction réelle de la substance et de la quantité10.

8Le débat sur la distinction réelle de la quantité et de la substance entre Burley et Ockham permet le déploiement d’une batterie d’arguments traditionnels qui reprennent toutes les propriétés de la quantité et établissent une base solide pour la discussion sur la nature des indivisibles. Il est probable que les arguments d’Ockham, hostile à l’existence des indivisibles, aient eu un effet intellectuel stimulant dans les textes développés par Burley à propos des indivisibles après 1320.

Des indivisibles à la structure de l’infini

9Burley et Ockham s’opposent sur le statut de la quantité et sur l’existence des indivisibles. Cette discussion peut tout à fait être envisagée ou rejetée, alors que le continu est considéré comme divisible à l’infini. Ainsi, tous deux admettent le même concept traditionnel aristotélicien d’infini : la structure du continu est divisible à l’infini. Néanmoins, en rejetant l’existence des indivisibles, Ockham, contrairement à Burley, évite le caractère problématique de l’infini aristotélicien. Burley, comme Aristote, envisage l’existence des indivisibles et la possibilité que la division du continu en parties s’arrête aux parties indivisibles (les extrémités comme le point, la ligne, la surface), sans pour autant admettre que le continu soit composé d’indivisibles. Sa position sur la distinction réelle entre substance et quantité lui permet de prouver l’existence des indivisibles et conduit le Doctor planus et perspicuusà envisager certaines conditions particulières où les points, médiats et immédiats, peuvent coexister avec les intervalles et assurent certaines formes de continuité sur la ligne.

La continuité de la ligne selon Gautier Burley : l’exemple de la question 4, livre VI

10Selon l’argument classique, Burley avance, dans la discussion, que les indivisibles, étant inétendus, ne peuvent provoquer d’accroissement ni produire un continu qui a une grandeur et une extension. Les points ne peuvent se toucher de partie à partie, puisqu’ils n’en ont pas ; néanmoins, ils peuvent se toucher entièrement de totalité à totalité, si bien que leur juxtaposition est une superposition. Ainsi, les indivisibles dans le continu forment une continuité que Burley considère comme équivalente à l’immédiateté (le qualificatif immédiate) ou à l’expression « sans intermédiaire » (sine medio). Le statut des indivisibles dans la structure du continu, bien que Burley ne les reconnaisse pas comme des composantsdu continu, révèle une théorie originale. Dans la première partie de la question 4, Burley envisage une continuité de la ligne composée de parties divisibles, mais aussi de points immédiats :

  • 11  G. Burley, Expositio et quaestiones in Physicam Aristotelis, livre VI, question 4, fo 175va -vb : (...)

Premièrement, je prouve que dans le continu permanent, un indivisible est immédiat à un autre indivisible. […] D’abord, voici mon argument : si une ligne est divisée en deux moitiés, alors deux points en acte se produisent ; ces points existaient auparavant sur la ligne et entre eux, il n’y avait aucun intermédiaire, car si, entre ces points, il y avait eu un intermédiaire, cette ligne ne serait pas divisée en deux moitiés ; donc, il reste à conclure que les deux points en acte qui terminent les deux moitiés après la division de la ligne étaient immédiats l’un à l’autre avant la division. Par conséquent, dans le continu comme sur la ligne, le point est un être qui suit un autre point. Cette affirmation peut être argumentée si l’on s’interroge sur la continuité de la ligne. Ou bien il existe deux points qui terminent les moitiés de la ligne ou bien il n’y en a qu’un seul. S’ils sont deux, il faut que ces points soient immédiats comme nous le soutenons. Si, en revanche, il n’y a qu’un seul point, au moment où la ligne est divisée en deux moitiés, le point ne va pas plus tenir d’extrémité à une moitié qu’à une autre. Par conséquent, il faudra que ce point soit divisible, de sorte qu’une partie du point termine une moitié de la ligne et l’autre partie, l’autre moitié, ce qui est impossible car alors le point serait divisible. Ou alors, il faut envisager que le point qui continue les parties de la ligne soit corrompu à son tour par la division et deux nouveaux points sont engendrés, ce qui ne semble pas nécessaire. Ainsi, parce qu’une moitié de ligne peut être séparée d’une autre moitié par quelque chose de divisible et par quelque chose d’indivisible en elle, une moitié peut être séparée d’une autre, alors que le point qui fait la continuité entre ces deux moitiés demeure. Ainsi, parce qu’un indivisible n’est pas corrompu si ce n’est lors de la corruption de quelque chose de divisible, puisque aucune moitié, ni quelque chose de divisible d’une moitié n’est corrompu par le fait qu’une moitié est éloignée d’une autre, il ne semble pas que le point qui continue ces moitiés l’une avec l’autre soit corrompu. Voici l’argument principal : il est possible que le point qui termine la ligne soit enlevé de la ligne et séparé de ce qui est enlevé ou ajouté à la ligne. Mais une fois que le point qui termine la ligne a été supprimé, ce qui reste est fini et par conséquent terminé. Mais ce n’est pas par le premier point, qui a été supprimé, donc c’est par un autre point, par conséquent, avant la suppression de ce point, entre le point qui termine la ligne et ce point supprimé, il n’y a pas eu d’intermédiaire et ainsi, avant la suppression de ce point, un point a été immédiat à un point. Et par conséquent, l’indivisible est un être consécutif à un autre indivisible.11

11Dans ce premier argumentaire, Burley soutient l’existence de deux points immédiats l’un à l’autre sur la ligne. Trois cas de continuité où les points jouent un rôle essentiel (principalement des points immédiats) sont envisagés sur la ligne. Premier cas, la ligne est coupée en deux, chaque moitié de ligne présente un terme indivisible respectif, immédiat à l’autre terme de l’autre moitié. S’il y avait un intervalle entre ces deux points, il n’y aurait pas de division effective entre les deux moitiés. Il est difficile de n’admettre qu’un point à la césure des deux moitiés de lignes. En effet, ce point devrait être à la fois divisible, puisqu’à la fois sur la limite de l’un et de l’autre moitié, et indivisible. Cela est impossible, mais le raisonnement admet que, dans le cas de la division d’une ligne, les parties divisées ou amenées à être séparées sont à la fois terminées mais aussi composéesde quelque chose à la fois divisible et indivisible.

12Burley envisage alors un deuxième cas, où le point unique à la césure des deux moitiés de lignes est en fait un point continuant et médiat qui assure la continuité de ces deux parties de ligne. Un troisième cas de continuité assurée par des points sur la ligne constitue l’argument principal en faveur de l’immédiateté de deux points sur la ligne : on peut toujours supprimer le point terminant de la ligne, mais la ligne, du fait qu’elle demeure finie, présente un nouveau terme indivisible. Il faut donc admettre que ces deux points sont immédiats sur la ligne continue.

13Dans la deuxième partie de la question 4 (passage 2), le Doctor planus et perspicuusavance l’ensemble des contre-arguments (fo 176rb-va) pour réfuter qu’un indivisible soit consécutif à un autre indivisible. Sans intermédiaire, la ligne n’est pas continue, et les parties des lignes dont les points terminants finissent la ligne n’ont pas les mêmes termes. Trois nouveaux cas de continuité de la ligne, assurée par des points, sont exposés :

  • 12  G. Burley, ibid., fo 176rb-va : « Ad primam igitur rationem dico quod si linea dividatur in duas m (...)

Comme premier argument, j’affirme que si la ligne est divisée en deux moitiés, le point qui auparavant a permis la continuité entre les deux moitiés de la ligne est corrompu et deux points nouveaux sont engendrés, qui auparavant n’étaient pas dans la ligne. Et lorsque l’on avance l’argument contraire selon lequel une moitié peut être séparée d’une autre en quelque chose d’elle-même, en quelque chose de divisible ou d’indivisible, il faut dire que cela n’est pas vrai, si l’on comprend qu’une fois qu’une moitié de ligne a été séparée d’une autre, il reste quelque chose de divisible et quelque chose d’indivisible des deux moitiés respectives, qui auparavant étaient présents, lorsque la ligne demeurait continue. Si cela était vrai, il s’ensuivrait que le point permettant la continuité des moitiés de la ligne, après séparation, demeurerait coupé en deux, dans l’une et l’autre ligne. Et ainsi le même point demeurerait dans différentes lignes séparées et différentes localement, ce qui est impossible. Et lorsque plus tard, on dit que l’indivisible n’est pas corrompu, si ce n’est selon la corruption de quelque chose de divisible, il faut dire que cela est faux. En effet, si deux lignes se continuent l’une l’autre comme cela arrive lorsque deux eaux se continuent l’une avec l’autre, l’un et l’autre point des lignes continues sont corrompus et un nouveau point qui continue ces parties l’une avec l’autre est engendré. Et il est certain que par une telle continuation entre deux lignes, aucun divisible n’est corrompu. […] Voici mon deuxième argument principal : il est impossible que le point qui termine la ligne soit enlevé de la ligne, parce que si le point qui termine la ligne devait être enlevé, il faudrait qu’une partie de la ligne soit supprimée ou qu’un nouveau point soit engendré. De là, je concède qu’il est bien possible que le point qui termine la ligne soit corrompu non pas par la corruption d’une partie de la ligne, mais dans le lieu d’un autre point corrompu, un point sera engendré, c’est-à-dire un nouveau point, par exemple, si deux lignes se continuent, le point qui termine l’une et l’autre ligne est corrompu et un nouveau point continuant ces lignes est engendré.12

14Dans le cas de continuité 1, Burley réfute un ensemble d’affirmations qu’il avait formulées dans le premier passage, principalement sur les cas de corruption et de génération des points sur la ligne divisée. Il commence par nier qu’un point puisse assurer la continuité entre deux moitiés de ligne : à la césure, ce point est corrompu et sont engendrés deux points, termes respectifs de l’une et l’autre moitié. Autrement, il faudrait que le point soit divisible en deux moitiés, présent à la fois sur l’une et l’autre parties divisées de la ligne. Burley revient aussi sur le fait qu’un point n’est pas corrompu, si ce n’est selon quelque chose de divisible, comme il l’a affirmé dans le passage 1.

15Pour discuter cette dernière opinion, Burley prend l’exemple, que nous appelons cas 2, d’une réunion de deux lignes en une seule ligne continue. Dans cet exemple, souligne le Doctor planus et perspicuus, rien de divisible n’est corrompu ; pourtant, les deux points qui terminaient respectivement les deux lignes qui vont être réunies sont corrompus et un point continuant entre ces deux lignes rassemblées est engendré. Plus précisément, soutient Burley, ces deux points vont être corrompus, un nouveau point continuant va être engendré, non pas selon la corruption de quelque chose de divisible, mais selon la génération d’une nouvelle ligne (donc quelque chose de divisible) qui est le produit de la continuité entre les deux lignes rassemblées. Ainsi, un point est corrompu selon la génération ou la corruption de quelque chose de divisible.

16Le troisième cas avancé par Burley, préparé par tous les nouveaux arguments des cas 1 et 2, fait l’objet de son argument principal, qui réfute l’opinion du passage 1. Le terme d’une ligne ne peut être supprimé, car ce terme ne peut être corrompu que si quelque chose de divisible est supprimé (ou engendré). Ainsi, il faudrait qu’une partie de la ligne soit supprimée. En fait, conclut Burley, il ne faut envisager la suppression de ce terme de la ligne pour la génération d’un nouveau point que dans le cas déjà envisagé (le cas 2) d’une réunion de deux lignes séparées puis rassemblées. Ce nouveau point assurerait la continuité de la nouvelle ligne ainsi produite.

17Ainsi dans la question 4, Burley défend une théorie de la continuité qu’il veut traditionnelle. Toutefois, dans six cas originaux, il envisage des modalités de continuité par des points sur la ligne, cette continuité étant mise à l’épreuve par des divisions, ou des réunions de parties divisées puis séparées. De plus, le passage 2, qui réfute l’idée de deux points consécutifs l’un à l’autre, présente le cas de deux points engendrés, nouveaux termes à deux moitiés d’une ligne coupée en deux. Ces deux termes semblent être, à ce stade du raisonnement de Burley, deux points immédiats sur une ligne continue. Enfin, même dans cet ensemble argumentatif qui réfute des positions importantes du passage 1, Burley envisage, lors de la génération d’une nouvelle ligne, produit de la réunion de deux anciennes lignes, que le point soit l’élément indispensable dans la composition de cette nouvelle ligne, pour assurer la continuité entre les deux anciennes parties auparavant séparées (résultats des cas 2 et 3 du passage 2).

Les conséquences de la réalité du point et de la théorie burléenne du continu dans deux autres discussions sur l’infini

Continuité et contiguïté des corps continus selon Gautier Burley

18Si les indivisibles existent et limitent les continus, quelle est la nature des limites et des dimensions des corps continus ? La question contribue à nourrir le débat mené par Burley contre Ockham et donne à Burley une nouvelle occasion de confirmer sa position sur la réalité des indivisibles.

  • 13  Aristote, Catégories,5a 1-2.
  • 14  Aristote, Physique,227a 11-12.
  • 15  J. Murdoch, « Superposition, congruence and continuity in the Middle-Ages », Mélanges Alexandre Ko (...)

19Selon Aristote dans les Catégories13, la quantité est dite continue parce que ses parties possèdent un terme commun ; au livre V, chapitre 3 de la Physique14, Aristote précise que sont appelées continues les choses dont les limites se touchent, deviennent les mêmes et sont contenues les unes dans les autres. Toujours dans ce chapitre, Aristote souligne que le continu est une subdivision du contigu, qui est en règle générale la notion de contact entre deux choses distinctes. John E. Murdoch15 a mis en évidence que le contact et la contiguïté étaient tantôt distingués (comme dans le chapitre 3, livre V), tantôt confondus par le Stagirite. Un deuxième argument relevé par ceux qui, au xive siècle, s’opposèrent aux indivisibilistes, concerne l’impossibilité de contact entre deux indivisibles. Les points ou indivisibles non étendus ne peuvent jamais constituer de continus, parce qu’ils n’ont pas d’extrémités qui pourraient rendre une totalité une (Physique, 231a 26-27) et parce qu’ils ne peuvent pas du tout être en contact (Physique, 231a 27-29). Deux choses peuvent se toucher ou bien de partie à partie, ou bien de tout à tout, ou bien de partie à tout. Or les deux dernières possibilités doivent être rejetées puisque les indivisibles n’ont pas de parties. Ou alors, il faudrait considérer le continu comme ayant des parties distinctes inétendues.

20Les médiévaux, comme d’autres philosophes avant eux de l’époque tardo-antique, interprètent ce dernier principe aristotélicien comme le fait constamment Burley : deux continus composés d’indivisibles se touchant de tout à tout ne produisent pas d’accroissement. Les discussions médiévales ont laissé une interprétation marquante de ces données aristotéliciennes relatives au continu, interprétation qu’Averroès avait commencé à introduire dans sa lecture des principes aristotéliciens sur l’infini.

  • 16  Averroès, In Physicam VI, Commentaire 2, fo 114r (édition Apud Juntas, Venetiis, 1550) : « Contigu (...)

La contiguïté d’une chose, selon sa totalité, avec une autre chose, selon sa totalité, est la superposition. De cette superposition, aucune grandeur ne se produit, qui auparavant n’était pas, ni ne se produit quelque chose qui a des parties. Le résultat d’une superposition d’une ligne sur une autre est qu’il n’y a pas d’accroissement sur la largeur, puisque la superposition a lieu sur la partie de la largeur sur laquelle la ligne est indivisible. De la même façon, la superposition des surfaces ne produit pas de profondeur. Parce que le point est indivisible sur toutes ses parties, il ne produit pas quelque chose qui a des parties ; or le continu est ce qui a des parties.16

  • 17  G. Burley, Expositio et quaestiones in Physicam Aristotelis, livre VI, t. III (231b 1 10-18), fo 1 (...)

Toutes les choses continues sont contiguës, de sorte que le contigu est premier et au-dessus du continu, et cela est vrai si l’on considère les contigus dans le sens communément admis, c’est-à-dire les choses dont le terme de l’un est réuni ensemble avec le terme de l’autre, et par conséquent, le terme de l’un est en même temps que le terme de l’autre, et par conséquent, ces choses sont contiguës. Et par conséquent, du premier au dernier, si des choses sont continues, elles sont contiguës, mais non l’inverse. En effet, les choses qui ont des termes différents, mais qui existent en même temps, sont contigues mais ne sont pas continues […] ; de la continuité d’indivisibles avec d’autres indivisibles, selon leur totalité, ne se produit pas une grandeur c’est-à-dire un accroissement, ni quelque chose qui a des parties. Donc, à partir d’indivisibles contigus selon le tout, n’est pas créé le continu. Leur contiguïté n’est autre que leur superposition. Mais de cette superposition d’un indivisible sur un autre, ne se produit pas d’accroissement. Voilà ce que le Commentateur déclare ; par exemple, parce que la ligne est indivisible sur la largeur, la superposition d’une ligne sur une autre ne crée pas d’accroissement. Semblablement, parce que la surface est indivisible selon la profondeur, la superposition d’une surface sur une autre ne créé pas une grandeur selon la profondeur. Et dans un sens plus général, un indivisible, sur la partie sur laquelle il est indivisible, ne produit pas d’accroissement. Parce que le point est indivisible sur toutes les parties, il ne produit pas d’accroissement, ni quelque chose qui a des parties, or tout continu a des parties, donc.17

21Averroès, en reprenant l’idée que le continu est une simple espèce du contigu et que des corps sont contigus lorsque leurs extrémités se touchent et qu’aucun corps étranger ne peut s’introduire entre ces deux extrémités en contact, fait une distinction entre les contiguïtés des corps naturels et celles des corps mathématiques. Ce n’est pas le fait que leurs limites sont ensemble qui les rend contigus les uns aux autres, mais le fait que leurs limites sont superposées. La contiguïté naturelle n’induit pas une superposition des continus sur leurs limites, qui restent distinctes. Si deux surfaces mathématiques sont contiguës au contraire, alors leurs lignes seront superposées ; si deux lignes sont contiguës, alors leurs points seront superposés. Pour Averroès, ces extrémités superposées permettent ainsi de faire une unité. Or une unité, pour Aristote, signifie que les entités dont les limites sont ainsi assemblées forment un continu.

  • 18  G. Burley, Expositio et quaestiones in Physicam Aristotelis, fo 176ra.

22Cette contradiction est présente dans la conception de la continuité de la ligne chez Burley. Comme il est difficile d’admettre qu’un point suive immédiatement un autre point sur la ligne, Burley introduit des intervalles ou intermédiaires ou parties de la ligne assurant la continuité entre les points immédiats. Cette solution provisoire implique une contradiction : la continuité et l’immédiateté des points sont identiques. Si les points sont immédiats sur la ligne, il y a aussi un intermédiaire ou des intermédiaires, qui ne sont autres que des parties de la ligne. Burley admet alors la présence de ces intervalles entre les points de la ligne mais aussi entre les points qui terminent la ligne. Il en vient à affirmer que la distance représentée par les intervalles ou intermédiaires ou parties n’est pas la même entre deux points sur la ligne et deux points qui terminent la ligne18. Burley poursuit sa démonstration et tente de produire plus précisément une réponse quod sic à la question de l’immédiateté de deux points sur la ligne en prenant en compte le cas où la ligne se trouve divisée et se trouverait soudainement coupée à un endroit, lequel deviendrait l’extrémité en acte de la ligne continue, insécable en un point. Ces argumentaires impliquent des contradictions entre la nature des points et leur capacité de continuité dans certains contacts au sein de la ligne. Ils ne reprennent pas la théorie averroïste de points superposés sur la ligne ou des cas de contiguïté mathématique entre deux lignes. Au contraire, le raisonnement reflète plutôt les contradictions d’Aristote qui confond parfois les cas de continuité et de contiguïté. Burley envisage des lignes divisées continues qui se réunissent sous forme de segments par l’intermédiaire d’un point nouvellement créé. Ces lignes sont continues parce que leurs limites deviennent les mêmes et se touchent en un point unique ; en un autre sens cependant, ces segments de lignes réunis sont contigus puisqu’ils sont en contact avec une chose distincte d’eux, le point.

La continuité de la ligne selon Burley face à Ockham

23La question 14 du livre I de la dernière version de la Physiquede Burley sur le point est le passage le plus soigné et le plus élaboré de la célèbre mise au point contre les modernes sur la quantité. Burley consacre trois pleins foliiaux problèmes des indivisibles contre trois colonnes à chacune des deux questions restantes. Pour réfuter les deux argumentaires théologiques ockhamistes qui nient l’existence du point, Burley produit deux réponses qui restituent sa conception de la continuité de la ligne.

24Selon les modernes, si le point était indivisible, cela signifierait que le corps continu est composé d’une infinité de substances indivisibles ou d’une infinité de points en acte, ce qui est contraire à la structure de l’infini en puissance d’Aristote. Si le point était distinct de la ligne et du corps, il s’agirait de savoir si c’est la division du corps continu qui a engendré cet être en acte absolu. Si le point était là avant la division, il n’y aurait pas de distance d’un point avec un autre point, et aucun corps continu ne pourrait exister. Si la division engendre le point, l’impossibilité est toujours la même, en vertu du même principe aristotélicien de la division en puissance à l’infini. Selon Ockham, rapporte Burley, la réunion de parties séparées auparavant n’engendre pas d’êtres absolus nouveaux et positifs. Si le point est considéré comme tel, alors des points infinis soumis à la corruption et à la génération vont figurer lors de l’union des parties d’un corps continu, ce qui est impossible. Certains points en acte vont se soustraire, d’autres s’ajouter.

25Argument de Burley 1 :

  • 19  G. Burley, Expositio et quaestiones in Physicam Aristotelis, livre I, question 14, fo 14va-vb: « A (...)

Au deuxième argument selon lequel il est impossible qu’il y ait des choses infinies en acte, etc., je dis qu’il est impossible qu’il y ait des choses infinies en acte par soi et existant séparément. Pourtant, ce n’est pas un problème que des choses infinies existent en acte, alors qu’elles n’existent pas par une actualité présente. Pourtant, elles participent des principes terminants et continuants comme c’est le cas pour les points […]. Au troisième argument selon lequel la seule division du continu ne cause pas une chose positive nouvelle qui auparavant n’existait pas, il faut dire que cela est faux. Au contraire, la seule division du continu cause des choses nouvelles c’est-à-dire de nouveaux termes de parties différentes les unes par rapport aux autres et au contraire, ce qui a été affirmé est complètement faux. Et de même, l’union de toutes les parties de n’importe quelle chose dont les parties, qui avaient été auparavant séparées, peuvent former une continuité, provoque la génération d’une chose nouvelle absolue, comme un point continuant nouvellement engendré. Et ainsi, tous les points qui auparavant servaient de termes sont corrompus, une infinité de points est engendrée, une infinité de points est corrompue, et cela n’est pas un problème, bien au contraire, c’est nécessaire.19

26Argument de Burley 2 :

  • 20  G. Burley, Expositio et quaestiones in Physicam Aristotelis, livre I, question 14, fo 14vb: « Et e (...)

Et ainsi j’affirme que Dieu ne peut pas produire de ligne sans point continuant, ligne à laquelle il sert de terme, bien qu’il puisse produire la ligne sans ce point-ci limitatif et sans ce point-là, qui coupe la ligne. Et de la même manière, j’avance un autre argument théologique. Dieu ne peut pas produire une ligne sans point limitatif, bien qu’il puisse produire une ligne sans ce point ni sans cet autre qui divise la ligne, pourtant il ne peut pas produire la ligne sans ces points ensemble.20

27Dans la réponse 1, Burley soutient qu’il ne peut y avoir une infinité de points en acte, puisque son actualité ne concerne pas l’être réel du point, mais le principe de limitation et de continuité qu’il constitue pour le corps. Burley recourt ainsi à sa thèse de la réalité du point. Deuxièmement, il n’y a pas d’inconvénients à ce que la division du continu crée des choses nouvelles, qui ne sont autres que des termes nouveaux de parties distinctes. De même, l’union de parties qui ont été séparées provoque, sans que ce soit une gêne, la génération et la corruption d’une infinité de points. Le Doctor planus et perspicuussouligne même la nécessité de cette génération et de cette corruption, et reprend les arguments du livre VI sur la façon dont les points garantissent la continuité de la ligne, lors de sa division ou de la réunion de certaines de ses parties. Dans son argumentaire, Burley évoque les cas 1 et 2 du passage 2 schématisés (lors d’une division, la génération de deux nouveaux termes pour chaque moitié de ligne ; lors d’une réunion, la génération d’un point continuant assurant la continuité entre les deux moitiés auparavant séparées).

28Dans sa réponse 2, Burley s’oppose à Ockham sur l’idée que Dieu pourrait créer une ligne sans point. Entre autres arguments, il avance que Dieu ne peut produire de ligne sans point continuant ni sans point terminant. Ces deux types de points qui renvoient à leur nature médiate et immédiate se succèdent dans la génération et la corruption, lors de la division d’une ligne ou de sa réunion en deux parties préalablement séparées, en puissance comme en acte. Dieu ne peut envisager la continuité de la ligne sans les trois cas décrits dans le passage 2 (question 4 du livre VI) : la corruption d’un point continuant deux moitiés de ligne divisée donne lieu à la génération de deux termes nouveaux pour chaque moitié de ligne divisée (cas 1) ; la corruption des termes respectifs de deux lignes réunies donne lieu à un point engendré selon la génération de la nouvelle ligne (cas 2) ; le point limitatif d’une ligne ne peut être supprimé qu’au profit de la génération d’un point continuant, assurant la continuité entre deux lignes réunies (cas 3).

Conclusion

29Burley justifie l’existence des extrémités qui limitent les corps continus, conformément à la tradition aristotélicienne, en décrivant les conditions de divisibilité et d’indivisibilité de chaque corps dans ses trois dimensions. Généralement proche d’Averroès quand il assimile continuité et contiguïté pour les entités mathématiques, sa position reste assez confuse parce qu’il a tendance à éliminer la distinction entre intervalles et indivisibles telle que la conçoit Aristote. Les points et les segments sont potentiels quand la ligne est coupée à un endroit, et les lignes et les points qui leur servent d’extrémités sont actuels. Le continu contient à la fois des intervalles et des indivisibles. Certes, les indivisibles ne peuvent se toucher partie par partie, mais doivent coïncider et finalement peuvent se lier continûment. Cela explique que le contact de juxtaposition ou de superposition ne soit pas de nature réellement différente. De plus Burley, dans ses deux réponses produites contre Ockham, souligne bien que Dieu ne peut produire de lignes sans points qui la limitent, ni de lignes sans points qui apparaîtraient si la ligne était coupée. Il remarque aussi que la division ou l’union de parties continues vont provoquer la génération et la corruption de points. Ainsi, pour répondre aux arguments élaborés du Venerabilis Inceptor, et pour maintenir l’ontologie du point, Burley est conduit à radicaliser ou infléchir les conceptions philosophiques traditionnelles sur la structure du continu.

Haut de page

Notes

1  A. Maier, Studien zur Naturphilosophie des Spätsscholastik, I, Die Vorläufer Galileis im xiveJahrhundert, Rome, Storia e letteratura, 1949, p. 26-52 ; E. Stump, « Theology and physics in De sacramento Altaris: Ockham’s theory of Indivisibles », Infinity and Continuity in Ancient and Medieval Thought, N. Kretzmann éd., Ithaca, Londres, Cornell University Press, 1982, p. 207-230 ; P. J. J. M. Bakker, « La raison et le miracle. Les doctrines eucharistiques (ca 1250 - ca 1400). Contribution à l’étude des rapports entre philosophie et théologie », 2 vol., thèse inédite de doctorat, Nimègue, 1999.

2  Gautier Burley a sûrement réussi brillamment ses premières années d’études, puisqu’en 1301, sa formation de logique est achevée. Il est très vite perçu comme un pair du célèbre collège de Merton qu’il intègre probablement autour de 1300 ; entre 1300 et 1306, l’influence de sa pensée et de ses commentaires aristotéliciens ainsi que sa carrière de philosophe prennent leur essor Dans ces années-là, il se lie probablement avec Thomas de Wylton. Il est considéré comme un savant d’Oxford et comme un membre à part entière de cette université, dans laquelle il se consacre à l’enseignement, de 1301 à 1307. La deuxième phase de la vie de Burley se déroule alors à Paris, dès 1308, où le jeune maître poursuit pendant seize ans, comme le veut la tradition, de longues études de théologie. Burley est maître de théologie en 1324 au plus tard. Son séjour à Paris s’achève autour des années 1326-1327. Voir la bibliographie détaillée de Walter Burley dans R. Wood et J. Ottman,« Walter Burley : his life and works », Vivarium, vol. XXXVII, no 1, 1999.

3  Guillaume d’Ockham est entré tôt dans l’ordre des franciscains. Il devient sous-diacre en 1306 avant de commencer ses études de théologie (1309). Ockham semble demeurer à Londres jusqu’en 1324, date à laquelle il rejoint Avignon. Il mène un enseignement sur la Bible, écrit leCommentaire des Sentencesde Pierre Lombard, son premier ouvrage, autour de 1321-1323. En 1324, Ockham a pratiquement rédigé l’ensemble de son œuvre et commence à être accusé d’hérésie par le pape Jean XXII. Entre 1324 et 1328, il se rend en Avignon au couvent des franciscains et continue d’enseigner. Presque chaque année à cette période de sa vie, il doit répondre aux suspicions portées sur une liste d’articles extraits de ses œuvres. Il s’enfuit d’Avignon pour Münich avec Michel de Césène, le général de l’ordre franciscain, qui n’est pas en bons termes avec la papauté. L’empereur Louis de Bavière les accueille et les prend sous sa protection. Les dernières années de sa vie, Ockham produit de nombreux écrits contre la papauté. Il meurt le 10 avril 1347.

4  Guillaume D’Ockham, Summa logicae, P. Boehner, G. Gal et S. Brown éd., St. Bonaventure, New York, W. de Gruyter, The Franciscan Institute (« Opera philosophica »I), 1974 ; Tractatus de corpore Christi, C. Grassi éd., St. Bonaventure, New York (« Opera theologica » X), 1986, chap. 36 et 41 ; Tractatus de quantitate, C. Grassi éd., St. Bonaventure, New York (« Opera theologica » X), 1986, question 1, p. 4-45 : « Si le point est une chose absolue, distincte réellement de la quantité » (Utrum punctus sit res absoluta, distincta realiter a quantitate) ; question 2, p. 45-51 : « Si la ligne et la surface se distinguent réellement entre elles et du corps » (Utrum linea et superficies realiter distinguantur inter se et a corpore) ; question 3, p. 51-85 : « Si le corps qui est la quantité est une chose absolue, distincte réellement de la substance » (Utrum corpus quod est quantitas sit res absoluta, distincta realiter a substantia) ; Expositio in libros Physicorum Aristotelis, V. Richter et G. Leibold éd., St. Bonaventure, New York (« Opera philosophica » IV), 1985, chap. 44 et 48.

5  G. Burley, Gualteri Burlei in physicam Aristotelis ; expositio et questiones ac etiam quaestio de primo et ultimo instanti denuo revisa ac mendis purgata et accuratissima quantum ars perficere potest impressa, Venise, 1501,livre VI, question 1 : « Si un indivisible ajouté à un autre produit un accroissement » (Utrum indivisibile additum alicui faciat majus) ; question 3 : « Si le continu est composé d’indivisibles » (Utrum continuum componatur ex indivisibilibus) ; question 4 : « Si dans le continu un indivisible est un être qui suit un autre indivisible » (Utrum in continuo sit indivisibile consequenter ens alteri indivisibili) ; question 5 : « Si le continu est divisible enpartiestoujours divisibles » (Utrum continuum sit divisibile in semper divisibilia).

6  C. G. Normore a produit la seule étude existante sur ce sujet : « Walter Burley on continuity », Infinity and Continuity in Ancient and Medieval Thought, N. Kretzmann éd., Ithaca, Cornell University Press, 1982, p. 258-269.

7  Parmi les occurrences nombreuses de ces discussions, nous avons choisi de concentrer nos remarques sur les passages de la Physiquede Burley, livre VI, texte 3 et question 4, livre I, question 14, « Si le point, la ligne, la surface se distinguent réellement du corps » (Utrum punctus, linea, superficies distinguuntur a corpore), fo 13va-14vb.

8  Ils sont numérotés par nos soins 13, 14 et 15 à partir de la table des matières et correspondent aux intitulés suivants : livre I, question 13 (Utrum quantitas sit genus infiniti), fo 13rb-va ; question 14 (Utrum punctus, linea, superficies distinguuntur a corpore), fo 13va-14vb ; question 15 (Utrum substantia et quantitas realiter distinguantur), fo 14vb-15vb.

9  J. Biard et J. Celeyrette éd., De la théologie aux mathématiques. L’infini au xive siècle, Paris, Les Belles Lettres, 2005.

10  De par sa nature même, la quantité est un exemple par excellence, puisqu’elle touche dans sa définition traditionnelle la nature propre de l’infini (avec la définition de Parménide et Mélissus) et les modalités de la continuité : selon Aristote, toutes les quantités se distribuent entre quantités continues et quantités discrètes. Aristote lui-même a consacré la majorité de son livre III de la Physique, l’ensemble du livre VI et trois chapitres du livre I de son Traité du ciel, à une étude importante sur l’infini et le continu. De plus, ces discussions, souvent moins étendues, se retrouvent aussi dans certains passages concernant le lieu dans le livre IV, ou encore la définition de la quantité dans le livre I et dans le Livre des Catégories. Les philosophes médiévaux, comme Henri de Gand (vers 1220-1293) puis Jean Duns Scot (ca 1265 - ca 1308), ont revisité tous ces textes de philosophie naturelle à la fin du xiiie et au début du xive siècle, car le concept de quantité continue divisible à l’infini était central pour aborder les problèmes du temps, du mouvement, du changement et des procédés de succession d’un corps dans un espace donné, ou d’une forme dans un sujet donné.

11  G. Burley, Expositio et quaestiones in Physicam Aristotelis, livre VI, question 4, fo 175va -vb : « Et primo probo quod in continuo permanenti indivisibile est immediatum indivisibili. […] Primo igitur arguitur sic. Dividatur aliqua linea in duas medietates tunc fiunt duo puncta in actu et illa puncta prius existebant in linea et inter illa non erat aliquid medium, quia, si inter illa puncta fuisset aliquid medium, tunc illa linea non divideretur in duas medietates : igitur reliquitur quod duo puncta quae actu terminant illas duas medietates divisas erant immediata ante divisionem. Et per consequens in continuo ut in linea est punctus consequenter ens alteri puncto. Hoc igitur potest argui sub tali forma querendo de linea continua. Aut sunt duo puncta continuantia ejus medietates aut unum tantum. Si sint duo, oportet quod illa sint immediata et sic habetur propositum. Si vero sit unum punctum tantum, tunc, si dividetur linea in duas medietates, illud punctum continuans ejus medietates non magis se tenetur cum una medietate quam cum alia. Igitur vel oportebit illud punctum dividi ita quod una pars ejus sit cum una medietate et alia pars ejus cum alia medietate, quod est impossible, quia sic punctum esset divisibile. Aut oportet dicere quod punctum continuans partes linee adinvicem corrumpitur per divisionem et generantur duo nova puncta, quod non videtur necessarium. Tunc, quia una medietas linee secundum quodlibet divisibile et secundum quodlibet indivisibile ipsius potest separari ab alia medietate. Igitur una medietas potest separari ab alia manente puncto continuante illas medietates adinvicem. Tunc quia indivisibile non corrumpitur nisi ad corruptionem alicujus divisibilis. Cum igitur nulla medietas nec aliquid divisibile alicujus medietatis corrumpatur per hoc quod una medietas aufertur ab alia, non videtur quod punctum continuans medietates illas adinvicem corrumpatur. Ad principale. Possibile est quod punctus terminans lineam auferatur a linea absque hoc quod aliquid aliud auferatur aut addatur linee. Sed puncto terminante praecise ablato residuum est finitum et per consequens terminatum. Sed non puncto priori iam ablato, igitur alio puncto, igitur ante ablationem illius puncti inter punctum nunc terminans punctum ablatum non fuit medium et sic ante ablationem illius puncti fuit punctus immediatus puncto. Et per consequens indivisibile consequenter ens alteri indivisibili. » (Citation traduite en français par mes soins, de même que les citations suivantes de Burley.)

12  G. Burley, ibid., fo 176rb-va : « Ad primam igitur rationem dico quod si linea dividatur in duas medietates punctum quod prius continuavit medietates linee adinvicem corrumpitur et generantur duo puncta nova quae prius non erant in linea. Et quando arguitur in contrarium quod una medietas quantum ad quodlibet sui et quantum ad quodlibet divisibile et quantum ad quodlibet indivisibile potest separari ab alia, dicendum quod non est verum sic intelligendo quod separata una medietate ab alia maneat quodlibet divisibile et quodlibet indivisibile utriusque medietatis quod prius fuit linea manente continua quia, si hoc esset verum, sequeretur quod punctum continuans medietates linee adinvicem post separationem medietatum maneret in utraque linea. Et sic idem punctum esset in diversis lineis separatis et diversis abinvicem secundum locum, quod est impossibile. Et quando ulterius dicitur quod indivisibile non corrumpitur nisi ad corruptionem alicujus divisibilis, dicendum quod illud est falsum quia si due linee continuentur adinvicem de novo, sicut accidit quando due aquae continuantur adinvicem, corrumpitur utrumque punctum linearum continuatarum adinvicem et generatur novum punctum continuans illas partes adinvicem. Et certum est quod per talem continuationem duarum linearum adinvicem nullum divisibile corrumpitur […]. Ad secundam rationem principalem, dico quod impossibile est quod punctum terminans lineam auferatur a linea precise, quia si punctum terminans lineam debeat auferri, oportet quod aliqua pars linee auferatur vel quod novus punctus generatur. Unde concedo quod bene est possibile quod punctus terminans lineam corrumpatur absque corruptione alicujus partis linee, sed tunc loco puncti corrumpti alius generabitur punctus scilicet punctus novus, verbi gratia, si due linee de novo continuentur adinvicem corrumpitur punctus terminans utramque lineam sed nullum divisibile corrumpitur et novus punctus continuans illas lineas adinvicem generatur. »

13  Aristote, Catégories,5a 1-2.

14  Aristote, Physique,227a 11-12.

15  J. Murdoch, « Superposition, congruence and continuity in the Middle-Ages », Mélanges Alexandre Koyré publiés à l’occasion de son soixante-dixième anniversaire. L’aventure de la science, I. B. Cohen et R. Taton éd., Paris, Hermann, 1964, p. 416-441.

16  Averroès, In Physicam VI, Commentaire 2, fo 114r (édition Apud Juntas, Venetiis, 1550) : « Contiguatio rei secundum totum cum alia re secundum totum est superpositio ; et ex superpositione non fit magnitudo que ante non erat neque aliquid habens partes. Unde ex superpositione linee super lineam non fit magnitudo in latitudine, cum non superponatur nisi ex parte latitudinis secundum quod est linea indivisibilis. Et similiter superpositio superficierum non facit profundum. Et quia punctus est indivisibilis in omni parte, non facit aliquid habens partes et continuum habet partes. »

17  G. Burley, Expositio et quaestiones in Physicam Aristotelis, livre VI, t. III (231b 1 10-18), fo 172rb: « Omnia continua sunt contigua, ita quod contiguuum est prius et superius quam continuum et illud est verum, accipiendo contigua communiter, accipiendo pro omnibus illis quorum ultimum unius est simul cum ultimo alterius, et per consequens, ultimum unius est simul cum ultimo alterius, et per consequens, illa sunt contigua. Et per consequens a primo ad ultimum, si aliquae sunt continua, illa sunt contigua sed non sequitur econverso, quia illa quae habent diversa ultima existentia insimul sunt contigua, sed non sunt continua [fo 172va] […] ; ex continuatione indivisibilium adinvicem secundum totum, non fit magnitudo, hoc est non fit majus nec aliquod habens partes. Igitur ex indivisibilibus contiguatis adinvicem secundum totum, non fit continuum […] ; contiguatio aliquorum secundum se totum, non est nisi eorum superpositio. Sed ex superpositione indivisibili super indivisibile, non fit majus […]. Commentator declarat per exempla nam, quia linea est indivisibilis secundum latitudinem, ideo ex superpositione linee super lineam, non fit magnitudo latitudine. Similiter, quia superficies est indivisibilis secundum profunditatem, ideo ex superpositione superficiei super superficiem, non fit magnitudo secundum profundum. Et universaliter indivisibile, ex ea parte qua indivisibile, non facit majus. Et quia punctus est indivisibilis ex omni parte, ideo non facit majus nec aliquod habens partes, et omne continuum habet partes igitur. »

18  G. Burley, Expositio et quaestiones in Physicam Aristotelis, fo 176ra.

19  G. Burley, Expositio et quaestiones in Physicam Aristotelis, livre I, question 14, fo 14va-vb: « Ad secundam rationem quando dicitur quod impossibile est quod sint infinite res in actu, etc. […] dico quod impossibile est quod sint infinite res in actu per se et seorsum existentes. Tamen non est inconveniens quod sint infinite res in actu actualitate praesentie ? Inexistentes, tamen alteri rei cujus sunt principia terminantia vel continuantia et sic de punctis ideo, etc. […] Ad tertiam rationem, quando dicitur quod per solam divisionem continui non causatur aliqua res positiva nova quae prius non fuit, dicendum quod hoc est falsum, immo per solam continui divisionem, causantur nove res scilicet novi termini partium adinvicem diversarum, et ideo assumptum est manifeste falsum. Et eodem modo dico quod per unionem omnium partium alicujus cujus partes quae prius erant separate possunt continuari generantur nova res absoluta quia novus punctus continuans. Et etiam corrumpuntur cuncta prius terminantia et infinita puncta generantur et infinita corrumpuntur nec hoc est inconveniens sed magis necessarium. »

20  G. Burley, Expositio et quaestiones in Physicam Aristotelis, livre I, question 14, fo 14vb: « Et eodem modo dico ad aliam rationem theologicam scilicet quod Deus non potest facere lineam sine puncto continuativo quamvis possit facere lineam sine isto puncto et sine illo divisim non tamen potest facere sine illis conjunctim. »

Haut de page

Pour citer cet article

Référence électronique

Alice Lamy, « L’ontologie des Indivisibles et la structure du continu selon Gautier Burley », Astérion [En ligne], 9 | 2011, mis en ligne le 01 décembre 2011, consulté le 31 octobre 2014. URL : http://asterion.revues.org/2152

Haut de page

Auteur

Alice Lamy

Alice Lamy est agrégée de lettres classiques et docteur en philosophie. Elle enseigne au Lycée Hélène Boucher à Paris. Ses travaux portent sur le rôle des catégories de quantité et de substance ainsi que sur le statut ontologique de la matière dans les commentaires médiévaux des Universités de Paris et d’Oxford au xive siècle. Elle a publié : « Le lexique de la quantité chez Walter Burley. Un glossaire de philosophie naturelle (1310-1340) », Bulletin du Cange, ALMA (Archivum latinitatis medii aevi), 2011, p. 81-107 ; « La quantité indéterminée de la matière dans la génération. Jean de Jandun et Walter Burley (1280-1340) », Revue de la France et de l’étranger, t. CXXXVI, 2011/2, p. 149-165 ; « L’ontologie de la matière selon Walter Burley », Revue de philosophie ancienne, no 1, 2011, p. 55-75 ; « Les théories quantitatives de l’Exposition sur les catégories d’Aristote de Walter Burley », Klêsis, Revue philosophique, no 18, 2011, p. 57-70 (Varia) ; « Les propriétés quantitatives du corps dans le Traité des formes (pars posterior) de Gautier Burley », Cahiers de recherches médiévales et humanistes, no 22, 2011 (à paraître).

Haut de page

Droits

© ENS Éditions

Haut de page