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Résumés

La nécessité d’un calcul ayant pour fin d’estimer un risque peut être révoquée en doute lorsqu’il s’agit de prendre une décision en situation d’incertitude, a fortiori lorsqu’il s’agit d’une question de vie ou de mort. Dans la controverse engagée sur l’opportunité d’inoculer la variole, la position de D’Alembert constitue un cas exemplaire de scepticisme portant sur l’application des mathématiques, et en l’occurrence du calcul des probabilités, à des décisions relatives à la vie humaine. D’Alembert, en effet, conteste aux mathématiques sociales le pouvoir de rendre compte de phénomènes humains en y cherchant des régularités et des formalisations sans dissocier les dimensions mathématiques et probabilistes des dimensions philosophiques et éthiques. En suivant le débat qui, au milieu du xviiie siècle, se déroule entre le mathématicien français et son homologue suisse Daniel Bernoulli, on assiste à l’un des épisodes de la lente gestation des notions de prise de risque, de décision et de rationalité.

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Texte intégral

  • 1  D. Courgeau, « Probabilités, démographie et sciences sociales », Mathématiques et sciences humaine (...)

1La nécessité d’un calcul ayant pour fin d’estimer un risque peut être révoquée en doute lorsqu’il s’agit de prendre une décision en situation d’incertitude, a fortiori lorsqu’il s’agit d’une question de vie ou de mort. Concevoir les décès comme un ensemble de cas a priori également possibles peut conduire à une méconnaissance de l’unicité fondamentale de la personne, même si cette difficulté semble levée lorsque le hasard est explicitement pris en compte. Cette dialectique de l’individu et de la collectivité régit également le jugement et la prise de décision ressortissant à l’élaboration de probabilités subjectives, à savoir l’évaluation des degrés auxquels il est raisonnable de croire en la vérité de propositions relatives au champ des sciences sociales1. Dans la controverse engagée sur l’opportunité d’inoculer la variole, la position de D’Alembert constitue un cas exemplaire de scepticisme portant sur l’application des mathématiques, et en l’occurrence du calcul des probabilités, à des décisions relatives à la vie humaine. En suivant le débat qui, au milieu du xviiie siècle, se déroule entre le mathématicien français et son homologue suisse Daniel Bernoulli, on assiste à l’un des épisodes de la lente gestation des notions de prise de risque, de décision et de rationalité.

Le problème

2L’inoculation de la variole est médicalisée en Europe à partir de 1721, mais elle fait depuis longtemps l’objet d’une pratique empirique en Asie. La maladie ne frappant jamais deux fois le même individu, il s’agit d’inoculer quelques gouttes de pus variolique, ce qui provoque l’éclosion d’une pathologie le plus souvent bénigne. Cependant, à l’époque, et contrairement à la vaccine antivariolique qui fit son apparition à la fin du xviiie siècle, l’opération demeure une affaire risquée et parfois mortelle dans un rapport de probabilité très variable.

  • 2  P. Darmon, La longue traque de la variole. Les pionniers de la médecine préventive, Paris, Librair (...)

3Des estimations en chiffres absolus donnent grosso modo 60 millions de décès par variole au xviiie siècle, ce qui ferait de cette maladie, à différents stades de gravité, l’un des premiers facteurs de mortalité (tableau 1). Tout malade a une chance sur sept d’en mourir2. Toutefois, la mortalité variolique est très variable selon les régions et les périodes (tableau 2). Jenner estime à 45 000 le nombre des Anglais qui meurent chaque année de la variole, soit 9,6 % de la population totale à l’époque. En 1754, La Condamine avance le chiffre de 50 000 à 80 000 décès annuels. Le risque de décéder par variole varie de 1/4 à 1/18 (tableau 3).

Tableau 1. Répartition des degrés de gravité de la variole (pour 10 personnes)

Décès prématuré sans variole

2

Variole discrète

5

Variole maligne

2

Variole confluente

1

Tableau 2. Décès par variole

Lieu

Année

Nombre décès par variole

Moyenne annuelle

Nuremberg

1750

*1 600

Paris

1716

14 000

1723

20 000

Montpellier

1744-1745

2 000

Rome

1752

6 000

Turin

1755

800

Berlin

1767

1 077

Naples

1768

6 000

Londres

2 082

Paris

1 428

Berlin

394

Edimbourg

122

* Les chiffres de Genève sont empruntés à A. Perrenoud (La population de Genève du xvie au début du xixe siècle. Étude de démographie, Paris, Champion / Genève, Jullien, 1980).

Tableau 3. Risque de décéder de variole

Lieu

Année

Taux de mortalité par variole

Risque de décéder de variole

Edimbourg

1758-1762

10,52

1/10

1743-1763

10,4

1/10

Besançon

1776-1777 et 1779

27,3

1/4

Dublin

1661-1690

21

1/5

1715-1746

18,5

1/5

Berlin

1757-1774

8,3

1/12

Londres

1629-1636

2,8

1/36

1650-1699

5,8

1/17

1700-1719

6,8

1/15

1720-1739

8

1/13

1740-1759

8,4

1/12

1760-1779

9,3

1/11

Leyde

1765-1775

13,3

1/8

Genève*

1630-1679

6,7

1/15

1680-1729

5,7

1/18

1730-1780

5,7

1/18**

* Les chiffres de Genève sont empruntés à A. Perrenoud (La population de Genève du xvie au début du xixe siècle. Étude de démographie, Paris, Champion / Genève, Jullien, 1980).
** Le risque moyen est de 1 décès par variole pour 13 décès. P. Darmon (voir note 2) donne un risque moyen de 1/10.

4En 1722, un médecin anglais, James Jurin, pose nettement le problème : l’existence de quelques décès consécutifs à l’inoculation condamne-t-elle irrémédiablement cette pratique ? Jurin fait état de 2 décès pour 182 inoculations pratiquées par différents médecins et pasteurs en Angleterre et de 5 décès pour 300 à Boston : les valeurs de ces proportions peuvent justifier un refus de l’inoculation. L’argument qu’opposent les défenseurs de l’opération se fonde sur l’intervention d’autres causes pouvant expliquer ces décès. D’un point de vue probabiliste, la controverse porte sur la comparaison entre deux risques, celui de mourir de la variole naturelle et celui de mourir de l’inoculation :

  • 3  JJurin, « A letter to the learned Dr. Caleb Cotesworth, F.R.S. of the College of physicians, Lon (...)

Notre seconde intention est de former une estimation du risque (hazard) que tout le genre humain, les uns portant les autres, court de mourir de la petite vérole naturelle ; et, en le comparant au risque de l’inoculation, le public peut juger si oui ou non la pratique de l’inoculation tend vers la préservation du genre humain en diminuant le danger (danger) auquel il serait autrement assujetti.3

  • 4  Ch.-M. La Condamine, « Mémoire sur l’inoculation de la petite vérole », Histoire de l’Académie roy (...)

5Après avoir construit une table qui regroupe la mortalité générale et celle qui se produit du fait de la variole, Jurin, se fondant sur les bulletins de mortalité de Londres durant quarante-deux ans, de 1667 à 1686 et de 1701 à 1722, estime le risque moyen de décéder lié à la variole naturelle à 1 décès sur 14. En réalité, ce risque varie avec l’âge. Jurin cherche également à savoir combien, parmi les 13 autres personnes qui décèdent, ont contracté la petite vérole sans en mourir. La mortalité par petite vérole serait ainsi – mais le médecin anglais considère lui-même la proportion comme douteuse – de 1 décès par variole sur 8 ou 9 décès : c’est la mesure que choisira Bernoulli pour ses calculs. À la suite de cette avancée, si plusieurs médecins optent très vite pour l’inoculation, d’autres s’y opposent, ainsi qu’un apothicaire et des théologiens comme le rappelle La Condamine4.

6En France, Voltaire (1734) se fait l’écho de la controverse anglaise et se déclare résolument favorable à l’inoculation. Il s’appuie sur des chiffres :

  • 5  Voltaire, « Onzième Lettre sur l’insertion de la petite vérole », Lettres philosophiques, Amsterda (...)

Sur cent personnes dans le monde, soixante au moins ont la petite vérole, de ces soixante, vingt en meurent dans les années les plus favorables, et vingt en conservent pour toujours de fâcheux restes : voilà donc la cinquième partie des hommes que cette maladie tue ou enlaidit sûrement.5

  • 6  La Condamine, 1754, ouvr. cité, p. 634-647.

7Toutefois la controverse ne s’amorce en France qu’en 1754 avec La Condamine, partisan inconditionnel de l’inoculation. Il répond aux principales « objections » élevées contre cette pratique. La cinquième objection, d’ordre théologique, pose que « c’est usurper les droits de la Divinité que de donner une maladie ou d’entreprendre d’y soustraire celui qui dans l’ordre de la Providence y était naturellement destiné ». Les deux suivantes relèvent davantage de considérations probabilistes. Selon les objecteurs, « il n’est pas permis de donner une maladie cruelle et dangereuse à quelqu’un qui ne l’aurait peut-être jamais eue ». De plus, s’interrogent-ils, « pourra-t-on jamais persuader à un père tendre de communiquer, de propos délibéré, à son fils unique, une maladie qui peut lui donner la mort ? Quelque petit que soit le risque auquel il l’expose par l’inoculation, n’y en eût-il qu’un sur cent, sur deux cents, sur trois cents, comme on le suppose, à qui cette opération fût fatale, doit-il l’exposer volontairement à ce risque ? »6

La mesure du risque

8Selon La Condamine, ce n’est que d’une comparaison des risques que peut naître la décision d’inoculer ou non la petite vérole. Bernoulli se propose de résoudre en mathématicien ce problème.

Le mémoire de Daniel Bernoulli

  • 7  D. Bernoulli, « Essai d’une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite vérole, et des a (...)

9Le mémoire de Bernoulli est publié en 17667 mais la conférence prononcée en 1760, et l’introduction apologétique rajoutée en 1765.

Deux hypothèses et deux risques

10L’inoculation peut offrir deux avantages : 1) sauver la vie à 1 000 enfants d’une génération de 13 000 ; 2) rajouter environ deux ans à la vie moyenne d’un nouveau-né.

11Bernoulli aborde immédiatement la question de l’utilité. Dans le premier cas, écrit-il, « on fait tomber l’avantage immédiatement et uniquement sur les sauvés », dans l’autre, « on distribue sur toute la génération le même avantage qui, par l’événement, devient inutile pour douze treizièmes de cette génération ». Ainsi, le premier point intéressera davantage.

12Il devient très rare de contracter la variole après 60 ans mais, ajoute Bernoulli, « on sait que cela arrive quelquefois ». En effet, en supposant 700 000 habitants à Paris et 60 000 personnes de plus de 60 ans, il y a sur ce dernier nombre 15 personnes qui n’ont pas eu la variole et 2 personnes par an qui la contractent. Cette constatation conduit Bernoulli à sa première hypothèse d’uniformité du risque de contracter la variole, qu’il formule ainsi : « Je n’ai donc plus hésité d’adopter mon premier principe qui est que tant qu’on n’a pas eu la petite vérole, on court continuellement le même risque de l’avoir. »

13S’y ajoute la seconde hypothèse, plus forte, de l’uniformité du risque de mourir de la variole lorsqu’on l’a contractée, hypothèse que Bernoulli déclare adopter faute de « listes mortuaires pour la petite vérole, rangées suivant l’ordre de l’âge de ceux qui en sont morts », et qu’il affirme du moins soutenable jusqu’à la vingt-quatrième année d’âge, au moment où « il ne reste presque plus rien à craindre de la petite vérole ». Selon le mathématicien suisse, de 8 à 9 ans, la variole représente les 2/3 de toutes les autres maladies mortelles « ou les deux cinquièmes de la mortalité entière », ce qui s’explique par le fait que la neuvième année est la moins meurtrière de la vie.

14Bernoulli considère donc deux risques, celui de contracter la variole (1/n) et celui, l’ayant contractée, d’en mourir (1/m). Il fait l’hypothèse, qu’il sait simplificatrice, que ces risques ne varient pas avec l’âge et valent 1/8, le second estimé parfois à 1/7 compte tenu des données anglaises.

Mortalité par variole

  • 8  E. Halley, « An Estimate of the degrees of the mortality of mankind, drawn from curious tables of (...)

15Bernoulli effectue ses calculs à partir de la table de survie présentée par l’astronome Edmund Halley8 en 1693 (figure 1).

Figure 1. Table de Halley

Figure 1. Table de Halley

16Avec x, l’âge en années, et z le nombre des survivants à l’âge x, Bernoulli exprime s, nombre de ceux qui n’ont pas eu la variole à l’âge x :

17Cette équation suppose, commente Bernoulli, qu’aucun enfant n’a contracté la variole avant de naître, ce qui va contre l’avis des médecins. Mais cette considération peut être négligée, d’autant qu’elle avantagerait la théorie présentée. Alors, en supposant n = 8 et m = 8, on a :

image

18Cette équation permet de déterminer la valeur de s à chaque âge. D’autres calculs fournissent les nombres de ceux qui ont eu la variole, etc. Bernoulli présente ses résultats dans une table I (figure 2).

Figure 2. Table I de Bernoulli (1766)

Figure 2. Table I de Bernoulli (1766)

19Ainsi, 1 enfant sur 2 de 6 ans, 1 sur 6 de 15 ans et 1 sur 18 de 24 ans n’ont pas eu la variole. Par rapport aux 1 300 nés – racine de cette table –, 1 sur 4 de 6 ans, 1 sur 12 de 15 ans et 1 sur 40 de 24 ans n’ont pas contracté cette maladie. Afin d’estimer ce qui se passe après l’âge de 24 ans, Bernoulli suppose que le nombre de ceux qui n’ont pas contracté la variole diminue de moitié tous les 5 ans. Il y en aura au plus 16 à 29 ans, 8 à 34 ans, etc. Il constate également que la mortalité par variole et celle de toutes les autres maladies « change extrêmement à chaque année ». C’est bien pendant la neuvième année d’âge que se trouve la proportion la plus élevée de mortalité par variole (1 décès par variole pour 2,5 décès par autre maladie). Mais, ajoute le mathématicien suisse, cette forte proportion diminue très vite.

Mesure des avantages de l’inoculation

20Comment mesurer les bénéfices résultant de l’inoculation ? S’il s’agit de la vie moyenne espérée après l’inoculation, les années de vie ont-elles toutes un même prix ? Il faut, selon Bernoulli, connaître « l’effet de la petite vérole pour chaque année durant toute la durée d’une génération et sa proportion avec l’effet de toutes les autres maladies ». Il se demande alors quel serait, à la fin de chaque année, le nombre de survivants sur 1 300 nouveau-nés, en supposant que, dans cette génération, personne ne meure de la variole.

21Pendant la première année de vie, la variole emporte 17 enfants et, sans cela, il y aurait 1 017 survivants au lieu de 1 000 à la fin de la première année. De même, si 133 sur 1 000 meurent de la maladie durant la deuxième année, il en sera mort 135,3 sur 1 017 et 881,7 survivront à la fin de la deuxième année si personne ne meurt de la variole, etc. Bernoulli distingue gain absolu et gain relatif, ce dernier étant à peu près constant pour les hommes faits, « les seuls utiles à l’État », selon une proportion de 7 à 8. Ainsi, en supposant qu’il y ait chaque année à Paris 7 000 personnes âgées de 20 ans, il y en aurait 8 000 sans la variole.

22Le mathématicien suisse définit ensuite la « quantité de vie totale » de la génération des 1 300 personnes dans chacune des situations, en prenant la somme de tous les survivants. La vie moyenne – ou espérance de vie à la naissance – qui en résulte est de 26 ans et 7 mois dans l’état naturel et de 29 ans et 9 mois dans l’état non variolique ; le gain, conclut Bernoulli, « est à peu près de 2/17 de la vie moyenne naturelle », soit de 3 ans et 2 mois.

23Reprenant le calcul sans les approximations précédentes dues au traitement de valeurs discrètes, Bernoulli fournit l’équation donnant à chaque âge la proportion des survivants dans l’état non variolique à ceux dans l’état naturel :

image

24Avec x, l’âge en années, z le nombre des survivants à l’âge x, s le nombre de ceux qui n’ont pas eu la variole à l’âge x, x les survivants dans l’état non variolique, m et n conservent la valeur 8. En supposant que l’inoculation enlève 100 enfants sur 943, Bernoulli montre qu’il en résulterait encore un bien pour la société. Il en conclut qu’il sera « toujours géométriquement vrai que l’intérêt des princes est de favoriser et de protéger l’inoculation ».

25Bernoulli calcule également la diminution du gain en vie moyenne résultant du risque couru en inoculant. Il nomme A la vie moyenne de ceux qui n’ont pas encore eu la variole, A + a la vie moyenne de ceux du même âge qui l’ont déjà eue, et suppose que ce gain coûte la vie à 1/n personnes. Il y a donc 1 cas pour perdre la vie dont la valeur est A et il y a n - 1 cas pour gagner a. Le gain est donc :

image

26En utilisant la table de Halley (figure 1), on obtient les résultats suivants (en années) pour le gain par âge en espérance de vie (tableau 4) :

Tableau 4. Gain en espérance de vie par âge suivant la table de Halley (en années)

Âge

Espérance de vie
sans variole

Espérance de vie
naturelle

Gain

0

30,23

27,15

3,1

1

33,82

30,71

3,1

2

41,94

38,47

3,5

3

43,35

40,15

3,2

4

44,00

41,11

2,9

5

44,22

41,64

2,6

6

44,19

41,90

2,3

7

43,99

41,96

2,0

8

43,46

41,69

1,8

9

42,84

41,29

1,5

10

42,18

40,84

1,3

15

38,49

37,84

0,7

20

34,90

34,59

0,3

25

31,46

31,31

0,1

30

28,30

28,23

0,1

27On peut également obtenir la diminution de ce gain (en mois) en fonction du risque de mourir par inoculation (tableau 5) :

Tableau 5. Perte en espérance de vie par âge suivant le risque de mourir par inoculation suivant la table de Halley (en mois)

Âge
(en années)

Perte avec 1/300

1/200

1/100

0

1

2

4

1

1

2

4

2

2

3

5

3

2

3

5

4

2

3

5

5

2

3

5

6

2

3

5

7

2

3

5

8

2

3

5

9

2

3

5

10

2

3

5

15

2

2

5

20

1

2

4

25

1

2

4

30

1

2

3

  • 9  J. H. Lambert, Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung, Berlin, Im Verlag der Bu (...)

28En utilisant la table de survie de Süssmilch-Lambert9 (figure 3), on obtient de même les gains par âge (en années) d’espérance de vie sans variole (tableau 6). Les pertes suivant le risque de décès par inoculation sont sensiblement équivalentes avec cette table.

Figure 3. Table de Süssmilch-Lambert

Figure 3. Table de Süssmilch-Lambert

Tableau 6. Gain en espérance de vie par âge suivant la table de Süssmilch-Lambert (en années)

Âge

Espérance de vie
sans variole

Espérance de vie
naturelle

Gain

0

30,89

29,50

1,4

1

40,44

39,20

1,2

2

42,84

40,10

2,7

3

43,90

42,00

1,9

4

44,37

42,70

1,7

5

44,46

42,70

1,8

6

44,38

42,50

1,9

7

44,14

42,60

1,5

8

43,78

42,30

1,5

9

43,30

41,90

1,4

10

42,74

41,40

1,3

15

39,17

38,10

1,1

20

35,18

34,30

0,9

25

31,72

31,00

0,7

30

28,72

28,10

0,6

29C’est sur l’ensemble de ces calculs et des considérations qui en résultent que vont porter les objections de D’Alembert.

Le mémoire de D’Alembert

  • 10  M. Paty, « D’Alembert et les probabilités », Sciences à l’époque de la Révolution française, R. Ra (...)
  • 11  J. Le Rond d’Alembert, « Onzième Mémoire : sur l’application du calcul des probabilités à l’inocul (...)

30Dans la critique serrée qu’il mène du calcul des probabilités, D’Alembert revient à plusieurs reprises sur la question de l’inoculation10. Paru en 1761 dans le deuxième tome de ses Opuscules mathématiques11, le onzième Mémoire du mathématicien est consacré à « l’application du calcul des probabilités à l’inoculation de la petite vérole », et il s’agit du plus complet de ses écrits sur le sujet. À ce texte lu en séance de l’Académie des sciences le 12 novembre 1760, D’Alembert joint de copieuses notes exposant les démonstrations qui ne pouvaient évidemment pas entrer dans une présentation orale.

La comparaison des risques

31L’objectif est clair : il s’agit de montrer que les avantages – qu’il admet réels – de l’inoculation « ne sont pas de nature à être appréciés mathématiquement » mais que l’inoculation en elle-même doit être encouragée comme un bien. D’Alembert précise que les objections qu’il formule « n’attaquent que les mathématiciens qui pourraient trop se presser de réduire cette matière en équations et en formules ». En effet, si les calculs opposés aux adversaires de l’inoculation « n’étaient peut-être pas suffisants pour les convaincre » et s’il est, selon l’auteur, impossible « de réduire au calcul les avantages de l’inoculation », ce n’est pas une raison pour renoncer à cette pratique. Il s’agit donc d’une étude de cas venant illustrer les doutes plus généraux de D’Alembert portant sur l’utilisation du calcul – et notamment du calcul des probabilités – dans le but de mesurer des phénomènes humains.

32D’Alembert rappelle que l’on inocule peu avant l’âge de 4 ans et que la variole naturelle « détruit, selon les inoculateurs, environ la septième partie du genre humain » tandis que l’inoculation ne fait qu’à peine une victime sur 300. Or, la conséquence qu’en tirent les partisans de l’inoculation, à savoir que le risque de mourir de la variole naturelle est à celui de mourir de la variole inoculée comme 300 à 7, soit 40 à 50 fois plus élevé, suscite, à juste titre selon le mathématicien, des objections chez les adversaires de l’opération. Les risques, interrogent-ils, sont-ils dans le même rapport ? Et leur nature n’est-elle pas différente ? En effet, rappelle D’Alembert, « quelque petit qu’on veuille supposer le risque de mourir de l’inoculation, celui qui se fait inoculer se soumet à ce risque dans le court espace de quinze jours, dans celui d’un mois tout au plus ; au contraire le risque de mourir de la petite vérole naturelle se répand sur tout le temps de la vie et en devient d’autant plus petit pour chaque année et pour chaque mois ». Il faudrait donc, ajoutent les adversaires, comparer les deux risques au cours d’une même période de temps, c’est-à-dire dans l’espace de quinze jours ou un mois.

33Or, selon l’auteur, cette méthode « donnerait beaucoup d’avantages aux adversaires de l’inoculation ». En effet, la variole ne peut tuer en un mois la trois-centième partie de l’espèce humaine. On peut en conclure que l’on « court moins de risque de mourir en un mois de la petite vérole naturelle qu’on attend que de la petite vérole qu’on se donne ». Les adversaires de l’inoculation poursuivent en raisonnant pareillement pour chaque mois et, dans tout le cours de la vie, « on ne pourra parvenir à aucun mois où l’inoculation soit réellement moins à craindre que la petite vérole naturelle ».

34D’Alembert ne manque pas de relever le côté spécieux de l’argumentation des anti-inoculateurs. Même s’il court plus de risque durant le mois suivant l’opération, l’inoculé est, dès le second mois, à l’abri et n’est plus soumis au risque, ce qui n’est pas le cas pour celui qui risque de contracter naturellement la variole. Le calcul du risque ainsi couru est donc complexe, par manque d’observations. Mais il offre une autre difficulté : le risque couru s’étend sur toute la durée de la vie, et « il faudrait pouvoir déterminer suivant quel rapport un risque de cette espèce diminue quand on l’envisage dans le lointain, et fuyant, pour ainsi dire, devant nous ».

35Dans la note D du mémoire, D’Alembert propose une théorie mathématique pour ce faire. On retiendra qu’il l’introduit au moyen d’une comparaison empruntée au domaine, familier aux probabilistes, du jeu. Il considère la vie humaine comme une loterie dont certains billets correspondent à la mort ; alors, les inoculés mettent dans cette loterie un billet de plus que les autres hommes, et un billet correspondant à la mort peut sortir plus souvent pour eux pendant un mois ; mais ce mois passé, il doit sortir plus tard. Le problème est de déterminer le rapport de l’espérance des joueurs qui n’ont pas mis le billet à celle des joueurs qui l’ont mis. L’auteur propose une solution géométrique que Lambert développera quelques années plus tard : il suppose que les indicateurs 1/m (risque de contracter la variole) et 1/n (risque d’en mourir) varient avec l’âge, et il évalue, en analysant des courbes de survie, des taux de mortalité et des espérances de vie. L’hypothèse de Bernoulli sur la constance des risques conduit, selon D’Alembert, « à des conséquences qui ne paraissent pas fort vraisemblables ». Dans la note E, le mathématicien français critique une telle conséquence qui impliquerait que la neuvième année de la vie soit la plus dangereuse (voir supra). Il montre également que « la diminution de la vie moyenne par le risque de la petite vérole naturelle, et son augmentation par l’inoculation, sont différentes quand on ne prend que ceux qui attendent la petite vérole, et quand on prend le total des personnes vivantes à chaque âge ».

Espérance de vie et utilité espérée

36D’Alembert taxe en premier lieu de gratuité les deux hypothèses de constance des risques. Cette difficulté n’est cependant pas, selon lui, rédhibitoire : il suffirait de disposer d’un plus grand nombre d’observations pour la lever et construire des tables satisfaisantes de comparaison des deux mortalités. Or, ces tables n’indiquant rien de plus qu’un surcroît d’espérance de vie accordé aux inoculés, ne suffiraient pas, selon l’auteur, à « fixer de manière satisfaisante les avantages de l’inoculation ». Pour le montrer, D’Alembert avance trois hypothèses :
1) l’espérance de vie d’un homme de 30 ans est de 30 ans ;
2) s’il se soumet à l’inoculation, elle est de 34 ans ;
3) le risque de mourir de l’inoculation est de 1/200.

37Il s’agit, dit D’Alembert, non de comparer une espérance de vie de 34 ans à une espérance de 30 ans, mais un risque de 1/200 « auquel on s’expose de mourir en un mois par l’inoculation », et ce à 30 ans, dans la force de l’âge, « à l’avantage éloigné de vivre quatre ans de plus au bout de soixante ans lorsqu’on sera beaucoup moins en état de jouir de la vie ». C’est, ajoute le mathématicien, une situation analogue à celle du joueur qui risque 1 contre 200 de perdre son bien en un jour dans l’espérance d’ajouter à ce bien une somme inconnue mais relativement petite au bout d’un grand nombre d’années, lorsque ce joueur sera beaucoup moins sensible à cette augmentation. Ainsi, le risque présent – celui de décéder du fait de l’inoculation – ne saurait être compensé par un gain d’espérance de vie dont on ne profiterait qu’à terme.

38La question est bien celle, très subjective, de l’estimation de son propre intérêt, le principe d’une utilité espérée. En effet, puisque D’Alembert imagine que ces années de vie gagnées le sont en fin de vie, une actualisation s’impose et l’utilité actuelle de ce supplément de vie serait moindre. Le mathématicien pose ici les bases d’une théorie – subjective – de la valeur, que les économistes et les actuaires énoncent ainsi : « Tout gain ou toute perte futurs ont une valeur moindre, au moment présent, qu’un gain ou une perte actuels ». Cette loi est une de celles qui ont servi à justifier la conception du prêt à intérêt, l’intérêt étant considéré comme servant précisément à combler la différence de valeur entre la valeur présente de la somme prêtée et la valeur future – moindre – de la somme pourtant égale qui doit être restituée.

39Or, sur cette comparaison du risque présent et de l’avantage inconnu et éloigné, D’Alembert affirme que « l’analyse des probabilités ne peut rien nous apprendre. Toutes les règles de cette analyse n’enseignent qu’à comparer un risque présent ou proche à un avantage également présent ou proche ». Des débats plus récents sur la probabilité subjective et le calcul de l’utilité espérée font écho à ces avancées du mathématicien. Dans la note G, D’Alembert se demande comment mesurer l’augmentation du risque en fonction du temps pendant lequel il s’exerce. Seules des hypothèses sont possibles. Par ailleurs, si ce temps dépasse 60 ans, les infirmités de la vieillesse se manifesteront pendant l’espérance supplémentaire qui doit alors être diminuée. Suivant quelle loi cette quantité doit-elle être diminuée ? Là encore, conclut l’auteur, ne peuvent être avancées que des hypothèses.

40Un autre argument que le mathématicien emploie pour montrer l’impossibilité d’appliquer pertinemment le calcul des probabilités à la question de l’inoculation consiste à montrer qu’il est facile « d’imaginer une infinité d’hypothèses où l’inoculation augmenterait énormément la vie moyenne et où, néanmoins, on serait très imprudent de se soumettre à cette opération ». Il avance, là encore, trois hypothèses :
1) la longévité humaine est de 100 ans ;
2) la variole est la seule maladie mortelle ;
3) elle emporte tous les ans un nombre égal d’hommes, c’est-à-dire que la probabilité de vivre est de 1/2.

41D’Alembert effectue un calcul classique d’espérance. La vie moyenne de ceux qui sont soumis au risque de la variole est de 100 x 1/2 = 50 ans, tous les hommes vivant « chacun cinquante ans, l’un portant l’autre, en ne se faisant point inoculer ». Dès lors que l’inoculation délivre de la variole pour toute la vie, les inoculés sont certains de vivre 100 ans s’ils ne meurent pas de l’opération ; mais l’auteur suppose que le risque de mourir suite à l’opération est de 1/5. Alors, l’espérance de vie des inoculés est de 100 x 4/5 = 80 ans, soit de 30 ans plus élevée que celle des non-inoculés. Cependant, en dépit de cet avantage, il est douteux, conclut D’Alembert, que « personne voulût prendre le parti de se faire inoculer ». Le risque « instant et présent » de mourir par inoculation étant en effet de 1 contre 4, il « est plus que suffisant pour balancer la certitude de vivre cent ans après avoir échappé à cette opération ». L’objection à ce raisonnement consistant à dire que le risque ici couru par inoculation n’a aucune réalité tombe, puisque le seul objectif de ce raisonnement est de montrer que l’augmentation de l’espérance de vie des inoculés ne constitue pas un argument suffisant en faveur de l’inoculation : il le serait s’il était valide dans le cas général.

42Ce raisonnement conduit D’Alembert à la question, d’ordre plus moral, de l’intérêt de l’État confronté à celui des particuliers. Dans l’hypothèse précédente, il est certain que l’État gagnerait à l’inoculation puisque le sacrifice de 1 citoyen sur 5 lui assurerait la conservation de ses autres membres sains jusqu’à l’âge de 100 ans. Mais y aurait-il un citoyen assez courageux pour s’exposer à l’opération ? L’individu, à juste titre, considère avant tout sa propre conservation, l’État considère tous les citoyens indifféremment. C’est le principe des traitements par la statistique, celui de la mesure appliquée à l’individu comme membre d’une collectivité, qui est évidemment mis ici en question. Dans les conditions précitées, et d’un point de vue éthique, un législateur serait-il en droit de contraindre les citoyens à l’inoculation ? D’Alembert rappelle que Bernoulli, dans ce même ordre d’idées, est allé jusqu’à dire que l’inoculation serait encore avantageuse, avec une mortalité de 1/10, puisqu’elle augmenterait de quelques jours l’espérance de vie, conclusion inacceptable pour le mathématicien français.

Les époques de la vie

43Dans la note N du mémoire, D’Alembert expose deux autres considérations rendant « encore plus difficile l’application du calcul des probabilités à l’inoculation ». Il s’agit d’abord de la diversité des époques de la vie, notamment la différence entre l’enfance et la vieillesse, d’une part, et l’âge mûr, d’autre part. Il définit ainsi le temps physique de la vie AS (figure 4) comme réduit à un temps plus petit TS, « égal au temps pendant lequel on n’a point souffert ». En général, lorsque AL est un temps physique quelconque de la vie, on n’appellera temps de la vie réelle qu’un temps BL pendant lequel on a joui de la vie sans souffrir. Le temps rx, que l’on peut espérer vivre après avoir été inoculé, est supérieur au temps RX où il n’y a pas eu inoculation. Le mathématicien risque quelques conjectures sur la courbe ATXO. Il suppose que :
1) AT est une parabole classique d’équation yx2 ;
2) l’angle en T étant par hypothèse de 45°, on a TS = 1/2 et AS = 5 ans ;
3) TB est une droite et l’abscisse correspondante SL = 50 ans ;
4) LQ = 40 ans ;
5) BO est aussi un segment de parabole, faisant en B un angle de 45° avec son axe ; alors OT = 1/2 et BT’ = 20.

44D’Alembert réaffirme que ce ne sont là que conjectures.

Figure 4. Temps physique et temps sans souffrance (figure 5 de D’Alembert, 1761)

Figure 4. Temps physique et temps sans souffrance (figure 5 de D’Alembert, 1761)

45La seconde considération touche à l’utilité des citoyens dans l’État ou, selon l’expression de D’Alembert, « le temps qu’ils vivent réellement pour l’État et qu’on peut appeler leur vie civile ». En effet, dans les premières années de leur vie, les hommes sont plus à la charge de l’État qu’à son service, et ce temps doit être considéré comme négatif par rapport à la vie civile. Il en va de même pour les années de la vieillesse (figure 5).

Figure 5. Temps de la vie civile (figure 6 de D’Alembert, 1761)

Figure 5. Temps de la vie civile (figure 6 de D’Alembert, 1761)

46Si les abscisses AR représentent les temps de la vie physique, les temps de la vie civile sont représentés par les ordonnées RX de la courbe AYSXO. La courbe a son origine au point A suivant un angle de 45° et, les premières ordonnées étant négatives, la courbe est concave avec un minimum en Y dont l’abscisse AE correspond au temps pendant lequel les hommes sont autant à charge qu’utiles à l’État. L’abscisse AT au point S « marque le temps où les citoyens commencent à être entièrement utiles ». La courbe est ensuite la droite SB, l’abscisse AL du point B exprimant l’âge « où l’on commence à être moins utile à l’État par son âge et ses infirmités ». L’abscisse AQ au point O correspond à l’âge de 95 ou 100 ans. Le point V correspond au début de la décrépitude, moment où les hommes redeviennent entièrement à charge de l’État. Là encore, D’Alembert fournit quelques suppositions chiffrées :
1) AYS est une parabole dans laquelle AC = 20 ans, en confondant les points S et C ;
2) CL = 40 ans ;
3) LQ = 40 ans ;
4) BVO étant une portion de parabole classique, on a Vu = 1/2 et Bu = 10 ans.

  • 12  P. Crépel, « Doutes sur les probabilités », Les génies de la science, no 39, D’Alembert, mathémati (...)

47La courbe K’E’Q représente la vie physique des inoculés ou des non inoculés. À chaque point correspondant à l’ordonnée RE’, on élève l’ordonnée x = RX positive ou négative. On trace alors la courbe K’zWxw, l’aire de cette courbe exprimant la vie moyenne des hommes par rapport à l’État – leur vie civile –, dans les deux cas où K’E’Q représente les inoculés ou les non-inoculés. Le lecteur trouvera une reproduction et un bref commentaire des deux courbes précédentes dans Crépel12.

48Suivant D’Alembert, il n’est pas possible de parvenir à une estimation satisfaisante de la vie réelle et de la vie civile, donc de déterminer rigoureusement les cas où l’espérance de vie – réelle ou civile – des individus serait le plus augmentée par l’inoculation. Mais ces approximations ne doivent absolument pas conduire à proscrire l’inoculation.

La défense de l’inoculation

  • 13  D’Alembert, Opuscules, ouvr. cité, p. 38 et suiv.

49Dans ce que l’on pourrait qualifier de seconde partie du mémoire13, D’Alembert soutient que, en dépit de l’insuffisance et du caractère prématuré des calculs à propos de l’inoculation, il faut néanmoins procéder à l’intervention. Il fait appel à un principe de décision en situation d’incertitude. Dans nombre d’occasions au cours de la vie, écrit-il, « sans savoir précisément l’avantage qu’on peut espérer en prenant quelque parti, on est déterminé par le seul motif que [l’]avantage peut être très grand ». Il s’agit là d’une estimation subjective de la probabilité, et cette estimation, suivant l’auteur, pousse sans hésitation à se décider pour l’inoculation. En effet, si l’inoculation n’était pas parfois mortelle, la probabilité d’échapper au décès par variole se muerait en certitude. Les partisans de l’inoculation doivent donc s’attacher à prouver que l’inoculation ne peut tuer lorsqu’elle est faite avec prudence. Il n’est pas même besoin d’avoir la certitude absolue de l’innocuité de l’inoculation, une certitude morale suffit. La variole naturelle peut tuer en moyenne une personne sur 3 000 par mois à Paris, sachant que, sur ces 3 000 de tous âges, il est très probable qu’un certain nombre a déjà contracté la variole et en a réchappé. Si l’inoculation, conclut D’Alembert, se perfectionnait au point de faire courir ce même risque de 1/3 000 ou un risque encore moindre, il deviendrait évident que « le danger de cette opération serait réellement et absolument nul ». C’est l’occasion pour le mathématicien d’exposer le principe des événements rares : « Lorsqu’il est question d’un avantage, même éloigné, il y a une infinité de cas, surtout dans le cours de la vie, où une probabilité très petite de danger, qui balance cet avantage, doit être traitée comme si elle était absolument nulle. »

50D’Alembert réexamine ensuite l’hypothèse de l’augmentation de l’espérance de vie, qu’il dit fondée sur deux autres suppositions :
1) l’inoculation garantit de la variole naturelle ;
2) l’inoculation n’entraîne aucune maladie mortelle ou dangereuse.

51La première supposition semble incontestable, et il n’y a aucune preuve qui infirme la seconde, même si elle ne peut être rigoureusement démontrée. Le raisonnement inductif autorise donc à admettre ces suppositions et à ne pas rejeter l’hypothèse de l’augmentation d’espérance de vie, et par conséquent à demeurer favorable à l’inoculation.

52Il ne s’agit donc pas, pour D’Alembert, de s’opposer à l’inoculation mais de montrer que les arguments de type mathématique – tels ceux de Bernoulli – sont impuissants à eux seuls à convaincre les adversaires de l’opération de sa nécessité. L’estimation d’une probabilité ne constitue pas, suivant le mathématicien français, un motif de croire. Je vais à présent esquisser quelques ramifications de ce débat.

L’interprétation de la mesure

53Le mathématicien alsacien Johann Heinrich Lambert, en se fondant sur les travaux de Bernoulli, considère à nouveau, dans les années 1770, la dimension mathématique du problème de l’inoculation.

Lambert : la variabilité des taux

  • 14  J. H. Lambert, ouvr. cité ; voir dans le vol. III (1772) la section IX : « Anmerkungen über die St (...)
  • 15  J. H. Lambert, ouvr. cité, 1772 ; 2006, § 129, p. 115.

54Lambert14 (1772) n’entre pas dans la dispute elle-même mais entend mieux apprécier les risques relatifs. Chaque éventualité est caractérisée par une valeur numérique qui, lorsqu’elle est connue, est empruntée à Süssmilch. Lambert précise que 80 décès par petite vérole sur 1 000 décès sont « manifestement trop peu. En effet, sur les 1 000 qui meurent annuellement, il y en a un très grand nombre qui n’avaient pas contracté la petite vérole. Supposons que leur nombre soit = a ; ainsi, sur les 1 000 qui meurent chaque année, il y en a 1 000 - a - 80 qui meurent en ayant réchappé à la petite vérole et 80 qui en meurent. Donc 80 meurent sur les 1 000 - a qui ont été attaqués par la petite vérole ». Sur cette base, Lambert commente et discute le mémoire de Bernoulli en rejetant la double hypothèse de constance des risques15.

  • 16  Ibid., 1772 ; 2006, § 140, p. 125.

55S’appuyant sur des données de la ville suisse de Winterthur, Lambert montre que la valeur du risque de décéder de la variole varie bien avec l’âge. Il teste aussi la vraisemblance que ce risque de décéder et celui de contracter la maladie aient une valeur égale, conformément à l’hypothèse de Bernoulli. Mais il fait observer que le risque de contracter la variole dépend étroitement des précautions prises pour l’éviter, celles-ci pouvant beaucoup varier16.

56Ainsi, Lambert estime que l’hypothèse de Bernoulli doit être rejetée au moins pour les dix premières années de la vie. Par exemple, entre la naissance et le premier anniversaire, le risque de contracter la petite vérole est de 1/39 tandis que le risque d’en décéder est de 1/3. En revanche, vers la quatrième année de vie, l’hypothèse de Bernoulli paraît acceptable (tableau 7).

Tableau 7. Risques par âge de contracter la variole et d’en mourir jusque 10 ans (d’après Lambert, 1772 ; 2006, § 155, p. 139)

Âge

Risque de contracter
la
variole

Risque d’en mourir

1

39

3

2

18

4

3

10

6

4

7

8

5

5

9

6

4

10

7

4

9

8

5

8

9

7

7

10

13

5

57Il n’est donc pas question, pour Lambert, de mettre en doute la validité de l’application du calcul. Une réflexion plus récente sur l’induction fournit un éclairage supplémentaire aux considérations qui précèdent.

Peirce : probabilité et induction

  • 17  Ch. S. Peirce, 1878, « On the doctrine of chances, with later reflections », Philosophical Writing (...)
  • 18  H. Landemore, Hume. Probabilité et choix raisonnable, Paris, PUF, 2004.

58En abordant les conditions qui autorisent l’inférence d’une prémisse A à une conclusion B dans la perspective d’une décision à prendre en situation d’incertitude et d’un choix raisonnable qui doit s’ensuivre, Peirce17 (1878) poursuit la discussion inaugurée par Hume18. La légitimité de cette inférence, écrit Peirce, « dépend […] de ce principe directeur : si un fait de la classe A est vrai, un fait de la classe B est vrai ». Et la probabilité consiste alors « dans la fraction dont le numérateur est le nombre de fois où A et B sont toutes deux vraies et dont le dénominateur est le nombre total de fois où A est vraie, que B le soit ou non ». On peut dire que cette probabilité est celle de l’inférence ou celle avec laquelle si A arrive, alors B arrive. Mais, ajoute Peirce, « parler de la probabilité de l’événement B sans en énoncer la condition n’a en vérité aucun sens ». Le débat sur l’inoculation ne se comprend que dans cette nécessité d’énoncer une chance de survie en fonction d’un risque de décéder ou d’énoncer un risque de décéder en fonction d’une chance de survie ; ou encore d’énoncer les mêmes risques ou chances en fonction de ceux qu’il y a à contracter la variole, ce que, dans leurs essais de mesure des risques, font précisément Bernoulli, D’Alembert avec scepticisme, et Lambert.

59Mais l’intérêt des réflexions de Peirce ne se borne pas à ces remarques. Le logicien américain poursuit en rappelant que « l’idée de probabilité appartient essentiellement à une espèce d’inférence indéfiniment répétée ». Ce qui implique qu’une « inférence unique doit nécessairement être vraie ou fausse et ne peut montrer aucun effet de probabilité ». C’est bien là le problème posé par l’inférence : « si je me fais inoculer, alors je m’assure davantage d’espérance de vie » ; cette inférence est en effet ce que Peirce appelle individual inference, inférence unique, c’est-à-dire non répétable puisque je me ferai inoculer une seule et unique fois et que le risque mortel que je cours ce faisant a lui aussi un caractère, pour ainsi dire, « définitif ». Peut-on alors parler de probabilité ? Non, répond Peirce, dès lors que, pour « un seul cas considéré en lui-même, la probabilité ne peut avoir aucune signification ». Cependant, poursuit-il, « si un homme avait à choisir entre tirer une carte d’un paquet contenant vingt-cinq cartes rouges et une seule noire, ou bien d’un paquet contenant vingt-cinq cartes noires et une seule rouge, et si le tirage d’une carte rouge était destiné à lui octroyer une félicité éternelle tandis que celui d’une carte noire le vouerait à un malheur sempiternel, ce serait folie de nier qu’il devrait préférer le paquet contenant la plus grande proportion de cartes rouges, quoique, d’après la nature du risque, le tirage ne pourrait être répété ». Une transposition dans les termes de la question de l’inoculation pourrait être la suivante :

  • 19  Ch.-M. La Condamine, « Mémoire sur l’inoculation de la petite vérole », Histoire de l’Académie roy (...)

Revenons au père qui balance pour faire inoculer son fils ; c’est à lui que j’adresse la parole. Il est question, dites-vous, de la vie de votre fils et vous ne voulez rien hasarder. Vous auriez raison sans doute si la chose dépendait de vous ; mais il faut hasarder ici malgré vous : c’est en vain que vous vous en défendez. Vous n’avez que deux partis à prendre : ou d’inoculer votre fils ou de ne pas l’inoculer ; voilà deux hasards à courir, dont l’un est inévitable. En inoculant votre fils, contre trois cent soixante-quinze événements heureux, il en est un à redouter ; en ne l’inoculant pas, il y a plus d’un à parier contre sept que vous le perdrez. Ce dernier risque est cinquante fois plus grand que l’autre : choisissez maintenant et balancez encore si vous l’osez.19

60Ou encore celle-ci :

  • 20  J. P. Süssmilch, Die göttliche Ordnung in den Veränderungen des menschlichen Geschlechts, aus der (...)

[…] ceux qui meurent de la petite vérole naturelle se rapportent à ceux qui sont morts du fait de l’inoculation comme 12 à 300, soit comme 1 à 25. Le risque est donc 25 fois moindre chez les inoculés que chez les ordinaires. L’espérance de réchapper à la variole est 25 fois plus grande […] Que se doit donc de choisir un père qui aime son enfant avec une tendresse raisonnable et qui est soucieux de sa conservation ? […] Si l’on est assailli par la petite vérole en un temps où celle-ci est épidémique et pernicieuse, un enfant meurt sur 6. […] Or, la petite vérole étant un mal partout répandu, la question est : que doivent choisir la raison et l’amour des parents ? Doit-on et peut-on ne pas choisir, entre deux maux, le moindre ? Le plus grand de tous les devoirs n’est-il pas de conserver la vie de son enfant et de diminuer d’autant qu’il est possible, par des soins convenables, le danger que court sa vie ?20

61Peirce reconnaît volontiers qu’il « n’est pas facile de concilier [cette préférence] avec […] l’analyse de cette conception du hasard [chance] ». Raison de plus pour poursuivre ladite analyse : si l’individu choisissait « le paquet rouge mais tirait la mauvaise carte, quelle consolation aurait-il ? » En prenant les chiffres de Süssmilch, nettement plus défavorables à l’inoculation (tableau 8), on peut faire l’hypothèse que, en ne considérant que le risque relatif (les enfants inoculés auraient – ou n’auraient pas – contracté la variole et, dans le premier cas, en seraient – ou pas – morts), un enfant sur 26 risque de mourir de la petite vérole inoculée. Quel réconfort, en effet, peut attendre le père qui voit mourir son enfant inoculé tandis que 25 autres survivent ? Que pourrait invoquer ce tireur de mauvaise carte ? « Il pourrait dire », poursuit Peirce, « qu’il a agi rationnellement et que cela montre seulement que sa rationalité ne valait absolument rien ». Par ailleurs, « s’il devait choisir la bonne carte, comment pourrait-il regarder cela autrement que comme un heureux hasard [accident] ? »

Tableau 8. Risques comparés chez La Condamine et chez Süssmilch

Décès par
variole naturelle

Décès par
inoculation

Rapport des risques

La Condamine-Lambert

1/7

1/375

1 contre 53

Süssmilch

1/12

1/300

1 contre 25

62Cette seconde éventualité que propose Peirce n’a pas d’équivalent en termes de risque relatif. En revanche, elle permet de poser la question de l’inoculation en considérant chaque risque pris en lui-même. Si l’on se place du côté des adversaires de l’inoculation, leur position n’est compréhensible que sous la condition d’un seul tirage, à savoir que la décision prise correspond à un enjeu de vie ou de mort. Il s’agit en effet pour un père de l’alternative suivante : mon enfant est âgé d’un an, il a passé le cap difficile de la surmortalité périnatale et je néglige la mortalité autre que celle qu’apporte la variole. S’il contracte cette maladie, il a en moyenne un risque de 1/7 d’en mourir. Si je le fais inoculer dès à présent, il a un risque d’environ 1/300 d’en mourir ; en termes de probabilité, il a, avec la variole naturelle, une probabilité de survie de 0,857, et de 0,997 avec l’inoculation. C’est supposer, en inversant la signification que Peirce confère à la « bonne » carte que, la carte noire signifiant la mort, le tireur a le choix entre tirer une carte d’un paquet où il y a six cartes rouges et une noire, ou d’un autre qui contient 299 cartes rouges et une noire. En effet, s’il tire la carte noire, celle signifiant le décès, il peut à bon droit juger qu’il s’agit d’un « [mal]heureux hasard » ! Il est clair que le raisonnement probabiliste, quelque poids qu’il ait en l’occurrence, ne pèse pratiquement rien aux yeux de l’adversaire de l’inoculation : il ne prendra sa décision qu’en fonction de sa propre subjectivité et non en raisonnant comme un probabiliste. C’est aller dans le sens de D’Alembert.

  • 21  J. Le Rond D’Alembert, « Vingt-septième Mémoire : sur différents sujets », 1768, t. IV, p. 79-91 e (...)
  • 22  G.-G. Granger, « Le paradoxe de Saint-Pétersbourg », Le jeu au xviiie siècle. Actes du Colloque d’ (...)
  • 23  J. Le Rond d’Alembert, « Cinquante-deuxième Mémoire : II. Sur le calcul des probabilités », Ibid., (...)
  • 24  L. Bachelier, Le jeu, la chance et le hasard, Paris, Flammarion, 1914, chap. 15, p. 151.

63Le principe même de la prise de décision en situation d’incertitude est que l’avenir est à la fois « certain » et incertain lorsque les événements sont indépendants. Dans les termes des « lois du hasard », il est certain que la probabilité d’obtenir « pile » après un nombre n d’occurrences ininterrompues de « face » est, quel que soit n, de 1/2 si la pièce n’est pas biaisée ; et il est incertain, dans la même proportion, que l’événement « pile » se réalise. Toutefois, d’un point de vue subjectif, n’importe quel joueur, avec, par exemple, n supérieur à 10, ne pourra s’empêcher de penser, en toute violation des règles du calcul des probabilités, que « pile » a davantage de chances de se produire que « face » au coup suivant, donc est plus « probable ». D’Alembert21 remet en question le calcul de l’espérance tel que le pratique la théorie classique. Ainsi que le précise Gilles-Gaston Granger22, le mathématicien français suggère « d’affaiblir le poids des événements rares plus que proportionnellement au nombre des possibles […] ainsi […] la probabilité d’obtenir face seulement au nme coup, au lieu d’être mesurée par le quotient 1/2n, sera donnée par une formule où intervient un coefficient d’amortissement a ». Dans un mémoire ultérieur, D’Alembert23 va jusqu’à proposer de rendre la probabilité d’un coup à pile ou face dépendante des résultats antérieurs. Ainsi, le joueur pariant sur « face » au onzième coup aura le sentiment de prendre un risque beaucoup plus élevé qu’un autre parieur dans une suite de coups plus classique, sacrifiant ainsi à une illusion qui, écrit Louis Bachelier, « tient surtout à ce qu’on se reporte involontairement à l’origine des événements quand elle n’est pas trop éloignée. Si, la veille, le jeu s’était terminé par une série de dix rouges, les joueurs n’auraient pas l’idée de commencer par pointer sur le noir, l’origine serait trop éloignée »24.

  • 25  Ch. S. Pierce, Philosophical Writings, ouvr. cité, p. 159-161.

64Le lecteur n’a pas manqué de remarquer que la discussion précédente a déjà opéré un sensible glissement conceptuel par rapport aux réflexions de Peirce : le vingt-cinquième enfant inoculé – ou le nième – n’est plus analysable en termes d’événement singulier puisqu’il est déjà fait appel à la répétition, donc au mécanisme des grands nombres, donc à un emploi légitime de la probabilité. Mais, écrit Peirce25 :

Même si la probabilité manifeste probablement (probably) son effet dans, disons, un millier de risques, et ce par une certaine proportion entre le nombre des succès et des échecs, cela ne revient pourtant qu’à dire qu’il en sera à la longue certainement ainsi. Or le nombre de risques, le nombre d’inférences probables qu’un humain prend et effectue dans sa vie entière, est un nombre fini, et il ne peut pas être absolument certain que le résultat moyen s’accordera pleinement avec les probabilités. (Je souligne)

65À l’instar de D’Alembert, Peirce suggère ici que la balance des succès et des échecs après prise de décision risquée ne correspond pas forcément, sur une durée de vie humaine, à une espérance moyenne calculable dans laquelle les deux résultats se contrebalancent à peu près, comme le voudrait la théorie. Avec cette proposition, le logicien américain rejoint le débat sur le paradoxe de Saint-Pétersbourg ainsi que certains aperçus que l’on doit à l’école écossaise, et bien sûr à Hume, au xviiie siècle.

  • 26  P.-Ch. Pradier, « D’Alembert, l’hypothèse de Bernoulli et la mesure du risque : à propos de quelqu (...)
  • 27  J. Elster, Raison et raisons, Paris, Fayard, 2006, p. 14.

66D’Alembert conteste aux mathématiques sociales le pouvoir de rendre compte de phénomènes humains en y cherchant des régularités et des formalisations sans dissocier les dimensions mathématiques et probabilistes des dimensions philosophiques et éthiques. La controverse sur l’inoculation de la variole est un véritable paradigme illustrant cette spécificité : il s’agit bien tout autant de mesurer des risques que de prendre des décisions, individuelles ou collectives, mettant directement en jeu la vie humaine. Il convient donc de s’attacher à la fois au mécanisme de la probabilité et à l’approche psychologique de la prise de risque. Dans la controverse sur l’inoculation se pose nettement la question du statut de la probabilité subjective lorsque son estimation est confrontée à la prise de risque et de décision. Comment, en partant des calculs, des réflexions, des comparaisons qui viennent d’être rappelés, déterminer le seuil à partir duquel on peut ou non courir un risque, que l’on agisse en décideur rationnel ou par une forme d’instinct ou de subjectivité qui se rapproche davantage de la psychologie du parieur, du joueur ? Comment mesurer l’aversion au risque, si présente dans la controverse sur l’inoculation26 ? Qu’est-ce qu’un décideur rationnel ? Toutes questions que, entre autres, les économistes d’aujourd’hui ont reprises à leur compte : « agir conformément à la raison, au singulier », écrit Jon Elster, « et agir pour de bonnes raisons, au pluriel, sont deux choses différentes en ce que la raison est objective, tandis que les raisons sont subjectives »27. À quel degré de certitude ou de probabilité peut-on parler d’un comportement ou d’une décision rationnels ? Toutes questions que les calculs de Bernoulli et les doutes de D’Alembert sur une controverse, par nécessité éteinte dès le début du xixe siècle, contribuent à reposer de manière pertinente. Tant il est vrai que, si les débats vieillissent et meurent, les formalismes, eux, suscitent toujours interrogations et réflexions.

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Notes

1  D. Courgeau, « Probabilités, démographie et sciences sociales », Mathématiques et sciences humaines, no 167, 2004, p. 27-50.

2  P. Darmon, La longue traque de la variole. Les pionniers de la médecine préventive, Paris, Librairie académique Perrin, 1986 (chap. 1, p. 21-36 et chap. 3, p. 56-60).

3  JJurin, « A letter to the learned Dr. Caleb Cotesworth, F.R.S. of the College of physicians, London, and physician to St. Thomas’s Hospital; containing a comparison between the danger of the natural small pox, and of that given by inoculation », Philosophical Transactions of the Royal Society of London, vol. XXXII, 1722-1723, p. 213-227 (ici, p. 215-216).

4  Ch.-M. La Condamine, « Mémoire sur l’inoculation de la petite vérole », Histoire de l’Académie royale des sciences, avec les Mémoires de Mathématique et de Physique pour la même année, tirés des registres de cette Académie, Paris, Durand, 1754, p. 615-670 (ici, p. 620-629).

5  Voltaire, « Onzième Lettre sur l’insertion de la petite vérole », Lettres philosophiques, Amsterdam, Lucas, Au Livre d’Or, 1734, vol. XI, p. 101-102.

6  La Condamine, 1754, ouvr. cité, p. 634-647.

7  D. Bernoulli, « Essai d’une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite vérole, et des avantages de l’inoculation pour la prévenir », Histoire de l’Académie royale des sciences, vol. III (2), Paris, Imprimerie nationale, 1766 ; Die Werke von Daniel Bernoulli, Bâle, Boston, Stuttgart, Birkhäuser, 1982, vol. II, p. 1-45.

8  E. Halley, « An Estimate of the degrees of the mortality of mankind, drawn from curious tables of the births and funerals at the city of Breslaw ; with an attempt to ascertain the price of annuities upon lives », Philosophical Transactions for the Month of January, no 196, 1693, p. 600.

9  J. H. Lambert, Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung, Berlin, Im Verlag der Buchhandlung der Realschule, 1765-1772 (vol. III, section IX, 1772, p. 495).

10  M. Paty, « D’Alembert et les probabilités », Sciences à l’époque de la Révolution française, R. Rashed éd., Paris, Blanchard, 1988, p. 203-265.

11  J. Le Rond d’Alembert, « Onzième Mémoire : sur l’application du calcul des probabilités à l’inoculation de la petite vérole ; notes sur le mémoire précédent ; théorie mathématique de l’inoculation », Opuscules mathématiques ou mémoires sur différents sujets de géométrie, de méchanique, d’optique, d’astronomie, etc., Paris, David, 1761, t. II, p. 26-95.

12  P. Crépel, « Doutes sur les probabilités », Les génies de la science, no 39, D’Alembert, mathématicien des lumières, mai-juillet 2009, p. 62-69 (ici, p. 67-69).

13  D’Alembert, Opuscules, ouvr. cité, p. 38 et suiv.

14  J. H. Lambert, ouvr. cité ; voir dans le vol. III (1772) la section IX : « Anmerkungen über die Sterblichkeit, Todtenlisten, Geburten und Ehen », p. 476-599 (Contributions mathématiques à l’étude de la mortalité et de la nuptialité, 1765 et 1772, édition critique bilingue par J.-M. Rohrbasser et J. Véron, suivi de « Les équations de Lambert » par M. Barbut, Paris, INED, 2006).

15  J. H. Lambert, ouvr. cité, 1772 ; 2006, § 129, p. 115.

16  Ibid., 1772 ; 2006, § 140, p. 125.

17  Ch. S. Peirce, 1878, « On the doctrine of chances, with later reflections », Philosophical Writings of Peirce, J. Buchler éd., New York, Dover, 1955, p. 157-173.

18  H. Landemore, Hume. Probabilité et choix raisonnable, Paris, PUF, 2004.

19  Ch.-M. La Condamine, « Mémoire sur l’inoculation de la petite vérole », Histoire de l’Académie royale des sciences, Année 1754, avec les Mémoires de Mathématique et de Physique pour la même année, tirés des registres de cette Académie, Paris, Durand, p. 615-670 (ici, p. 654).

20  J. P. Süssmilch, Die göttliche Ordnung in den Veränderungen des menschlichen Geschlechts, aus der Geburt, dem Tode und der Fortpflanzung erwiesen von Johann Peter Süßmilch..., Zwote und ganz umgearbeitete Ausgabe, Berlin, Im Verlag des Buchladens der Realschule, 1761-1762, t. II, chap. 24, § 528, p. 442-443.

21  J. Le Rond D’Alembert, « Vingt-septième Mémoire : sur différents sujets », 1768, t. IV, p. 79-91 et 92-98 (ici, p. 82-83).

22  G.-G. Granger, « Le paradoxe de Saint-Pétersbourg », Le jeu au xviiie siècle. Actes du Colloque d’Aix-en-Provence, 1971, Aix-en-Provence, Edisud, 1976, p. 43-48 (ici, p. 45).

23  J. Le Rond d’Alembert, « Cinquante-deuxième Mémoire : II. Sur le calcul des probabilités », Ibid., t. VII, 1780, p. 39-60 (ici, p. 39-41 et 50-52).

24  L. Bachelier, Le jeu, la chance et le hasard, Paris, Flammarion, 1914, chap. 15, p. 151.

25  Ch. S. Pierce, Philosophical Writings, ouvr. cité, p. 159-161.

26  P.-Ch. Pradier, « D’Alembert, l’hypothèse de Bernoulli et la mesure du risque : à propos de quelques lignes des Opuscules », Arithmétique politique dans la France du xviiie siècle, M. Thierry éd., Paris, INED, 2003, p. 233-236.

27  J. Elster, Raison et raisons, Paris, Fayard, 2006, p. 14.

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Table des illustrations

Titre Figure 1. Table de Halley
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Titre Figure 2. Table I de Bernoulli (1766)
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Titre Figure 3. Table de Süssmilch-Lambert
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Fichier image/png, 1,9M
Titre Figure 4. Temps physique et temps sans souffrance (figure 5 de D’Alembert, 1761)
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Titre Figure 5. Temps de la vie civile (figure 6 de D’Alembert, 1761)
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Pour citer cet article

Référence électronique

Jean-Marc Rohrbasser, « Les hasards de la variole », Astérion [En ligne], 9 | 2011, mis en ligne le 01 décembre 2011, consulté le 25 avril 2014. URL : http://asterion.revues.org/2143

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Auteur

Jean-Marc Rohrbasser

L’auteur est chargé de recherche à l’Institut national des études démographiques. Il a publié : « John Graunt et les bulletins de Londres : une statistique de la mortalité au xviie siècle », xviie siècle, no 243, avril 2009, p. 345-368 ; « Leibniz, Wolff et la théodicée », Studia Leibnitiana, no 36, 2009 ; « Süssmilch et le risque : Femmes en couches et inoculation de la variole », Historia de la Probabilidad y la Estadística, J. B. Santos et J. J. Garcia del Hoyo éd., Huelva, Universidad de Huelva, Publicaciones Collectanea 131, 2009, p. 1-26 ; « Süssmilch lecteur de Petty. Arithmétique politique et théologie naturelle », Journ@l électronique d’histoire des probabilités et de la statistique, vol. IV, no 1, 2008 [http://www.jehps.net/juin2008/Rohrbasser.pdf] (consulté le 17 novembre 2010) ; « Leibniz : assurance, risque et mortalité », Astérion, no 5, 2007 [http://asterion.revues.org/document1259.html] (idem) ; « Süssmilch y el problema de Ninive. Un estudio de aritmética biblio-politica », Empiria, Revista de metodología de ciencias sociales, no 14, 2007, p. 69-86 ; « Comment les monades conduisent au scepticisme. La correspondance entre Frédéric de Prusse et Voltaire », Revue de synthèse, vol. CXXVIII, no 3-4, 2007, p. 341-355.

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